அணியின் வர்க்கமூலம்

கணிதத்தில் அணியின் வர்க்கமூலம் (square root of a matrix) என்பது எண்களின் வர்க்கமூலம் என்ற கருத்துருவின் அணிகளுக்கான நீட்சியாகும்.

அணிப்பெருக்கல் $B$ $B$ இன் மதிப்பு $A$ க்குச் சமமாக இருந்தால், $B$ அணியானது $A$ அணியின் வர்க்கமூலம் எனப்படும்.^[1]

பண்புகள்

ஒரு அணிக்குப் பல வர்க்கமூலங்கள் இருக்கலாம்.

எடுத்துக்காட்டுகள்:

\left({\begin{smallmatrix}33&24\\48&57\end{smallmatrix}}\right)

அணியின் வர்க்கமூல அணிகள்:

\left({\begin{smallmatrix}1&4\\8&5\end{smallmatrix}}\right)

,

\left({\begin{smallmatrix}5&2\\4&7\end{smallmatrix}}\right)

, இவ்விரு அணிகளின் கூட்டல் நேர்மாறு அணிகள்.

2×2 முற்றொருமை அணி ${\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}}{\bigr )},$ முடிவிலா பல சமச்சீர் விகிதமுறு வர்க்கமூலங்களைக் கொண்டதாகும்:

வர்க்கமூலங்கள்:

{\frac {1}{t}}\left({\begin{matrix}s&r\\r&-s\end{matrix}}\right),\quad {\frac {1}{t}}\left({\begin{matrix}s&-r\\-r&-s\end{matrix}}\right),\quad {\frac {1}{t}}\left({\begin{matrix}-s&r\\r&s\end{matrix}}\right),\quad {\frac {1}{t}}\left({\begin{matrix}-s&-r\\-r&s\end{matrix}}\right),\quad \left({\begin{matrix}1&0\\0&\pm 1\end{matrix}}\right),\quad {\text{and}}\quad \left({\begin{matrix}-1&0\\0&\pm 1\end{matrix}}\right),

(r,s,t)

என்பன பித்தகோரசு மும்மைகள். அதாவது,

r^{2}+s^{2}=t^{2}

என்ற முடிவை நிறைவு செய்யும் ஏதேனும் மூன்று நேர்ம முழுஎண்கள்.^[2]

ஒரு நேர்ம-அரைவரைவு அணிக்கு ஒரேயொரு நேர்ம-அரைவரைவு வர்க்கமூலம் மட்டுமே இருக்கும். அது மூல அணியின் முதன்மை வர்க்கமூலம் எனப்படும்.
ஒரு எதிர்மமற்ற முழு எண்ணின் வர்க்கமூலம் மீண்டும் ஒரு முழுஎண்ணாகவோ அல்லது விகிதமுறா எண்ணாக இருக்கும். ஆனால் ஒரு முழுஎண் அணியின் வர்க்கமூல அணியின் உறுப்புகள் முழுஎண்கள் அல்லாத விகிதமுறு எண்களாக இருக்கலாம்.

\left({\begin{smallmatrix}~\;0&4\\-1&5\end{smallmatrix}}\right)

அணியின் வர்க்கமூல அணிகள்:

\left({\begin{smallmatrix}~\;{\frac {2}{3}}&{\frac {4}{3}}\\-{\frac {1}{3}}&{\frac {7}{3}}\end{smallmatrix}}\right)

-முழுஎண் அல்லாத வர்க்கமூல அணி.

\left({\begin{smallmatrix}2&-4\\1&-3\end{smallmatrix}}\right)

-முழுஎண்கள் அணி.

வெவ்வேறான பூச்சியமற்ற ஐகென் மதிப்புகளையுடைய 2×2 அணிக்கு நான்கு வர்க்கமூலங்கள் உண்டு.

வெவ்வேறான பூச்சியமற்ற $n$ ஐகென் மதிப்புகளையுடைய $n\timesn$ அணிகள் 2ⁿ வர்க்கமூலங்கள் கொண்டிருக்கும்.

மெய்யெண்களைப் போன்றே ஒரு மெய்யெண் அணிக்கு மெய்யெண் வர்க்கமூலம் இல்லாமல் சிக்ககெண் உறுப்புகளைக் கொண்ட வர்க்கமூலம் இருக்கலாம்.
வர்க்கமூலங்களே இல்லாத அணிகளும் உண்டு.

\left({\begin{smallmatrix}\\0&1\\0&0\end{smallmatrix}}\right)

அணிக்கு வர்க்கமூலம் இல்லை.

நேர்ம மெய்யெண் ஐகென் மதிப்புகளைக் கொண்ட சிக்கலெண் அணிக்கு நேர்ம மெய்யெண் ஐகென் மதிப்புகளுடைய ஒரேயொரு தனித்த வர்க்கமூல அணி மட்டுமே இருக்கும். இந்த வர்க்கமூலம் மூல அணியின் முதன்மை வர்க்கமூல அணி எனப்படும். மேலும் அணிகளின் கணத்தில் முதன்மை வர்க்கமூலம் காணும் செயல் தொடர்ச்சியானது.^[3]

குறிப்புகள்

↑ Higham, Nicholas J. (April 1986), "Newton's Method for the Matrix Square Root" (PDF), Mathematics of Computation, 46 (174): 537–549, எண்ணிம ஆவணச் சுட்டி:10.2307/2007992, JSTOR 2007992
↑ Mitchell, Douglas W. "Using Pythagorean triples to generate square roots of I₂". The Mathematical Gazette 87, November 2003, 499-500.
↑ Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1990). Matrix analysis. Cambridge: Cambridge Univ. Press. p. 411. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 9780521386326.

மேற்கோள்கள்

Bourbaki, Nicolas (2007), Théories spectrales, chapitres 1 et 2, Springer, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 3540353313
Conway, John B. (1990), A Course in Functional Analysis, Graduate Texts in Mathematics, vol. 96, Springer, pp. 199–205, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0387972455, Chapter IV, Reisz functional calculus
Cheng, Sheung Hun; Higham, Nicholas J.; Kenney, Charles S.; Laub, Alan J. (2001), "Approximating the Logarithm of a Matrix to Specified Accuracy" (PDF), SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 22 (4): 1112–1125, எண்ணிம ஆவணச் சுட்டி:10.1137/S0895479899364015, archived from the original (PDF) on 2011-08-09, பார்க்கப்பட்ட நாள் 2017-03-30
Burleson, Donald R., Computing the square root of a Markov matrix: eigenvalues and the Taylor series
Denman, Eugene D.; Beavers, Alex N. (1976), "The matrix sign function and computations in systems", Applied Mathematics and Computation, 2 (1): 63–94, எண்ணிம ஆவணச் சுட்டி:10.1016/0096-3003(76)90020-5
Higham, Nicholas (2008), Functions of Matrices. Theory and Computation, Society for Industrial and Applied Mathematics-SIAM, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-0-89871-646-7
Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1994), Topics in Matrix Analysis, Cambridge University Press, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0521467136
Rudin, Walter (1991), Functional analysis, International series in pure and applied mathematics (2nd ed.), McGraw-Hill, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0070542368

[Higham-1] Higham, Nicholas J. (April 1986), "Newton's Method for the Matrix Square Root" (PDF), Mathematics of Computation, 46 (174): 537–549, எண்ணிம ஆவணச் சுட்டி:10.2307/2007992, JSTOR 2007992

[2] Mitchell, Douglas W. "Using Pythagorean triples to generate square roots of I₂". The Mathematical Gazette 87, November 2003, 499-500.

[3] Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1990). Matrix analysis. Cambridge: Cambridge Univ. Press. p. 411. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 9780521386326.

[1]

[2]

[3]