நேர்ம-வரைவு அணி

நேரியல் இயற்கணிதத்தில் $M$ என்ற சமச்சீர், $n$ × $n$ மெய்யெண் அணியானது, $n$ மெய்யெண் உறுப்புகள் கொண்ட ஒவ்வொரு பூச்சியமற்ற நிரல் திசையன் $z$ க்கும் திசையிலி $z^{\mathrm {T} }Mz$ இன் மதிப்பை நேர்மமாகக் கொண்டிருந்தால் அது ஒரு நேர்ம வரைவு அணி (positive definite) எனப்படும். இங்கு $z^{\mathrm {T} }$ என்பது $z$ இன் இடமாற்று அணியாகும்.^[1]

மேலும் பொதுமைப்படுத்த, $n$ × $n$ ஹெர்மைட் அணி $M$ ஆனது ஒரு நேர்ம வரைவு அணியாக இருக்கவேண்டுமானால், $n$ சிக்கலெண்கள் கொண்ட அனைத்து பூச்சியமற்ற நிரல் திசையன் $z$ களுக்கும் $z^{*}Mz$ எனும் திசையிலியின் மதிப்பு நேர்ம மெய்யெண்ணாக இருக்க வேண்டும். இங்கு $z^{*}$ என்பது $z$ இன் இணையிய இடமாற்று அணியைக் குறிக்கிறது.

இதைபோலவே எதிர்ம-வரைவு, நேர்ம அரை-வரைவு, எதிர்ம அரை-வரைவு ஆகிய மூன்றும் வரையறுக்கப்படுகின்றன. நேர்ம அரை-வரைவு, எதிர்ம அரை-வரைவு அணிகளுக்கு பூச்சியங்கள் அனுமதிக்கப்படுகின்றன. அதாவது எதிர்ம-வரைவு, நேர்ம அரை-வரைவு, எதிர்ம அரை-வரைவு அணிகளாக இருப்பதற்கு, $z^{\mathrm {T} }Mz$ அல்லது $z^{*}Mz$ இன் மதிப்பு முறையே எதிர்மமாக, எதிர்மமற்றதாக, நேர்மமற்றதாக இருக்கவேண்டும். சில கணித நூலாசிரியர்கள் சமச்சீரற்ற மெய்யெண் அணிகளுக்கும் ஹெர்மைட் அணியாக இல்லாத சிக்கலெண் அணிகளுக்கும் நேர்ம வரைவணி கருத்துருவை நீட்டித்துள்ளனர்.

எடுத்துக்காட்டுகள்

முற்றொருமை அணி $I={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}$ , ஒரு நேர்ம வரைவு அணியாகும்.

முற்றொருமை அணி ஒரு சமச்சீர் அணி.

இதனை மெய்யெண் அணியாகக் கருத, a , b எனும் மெய்யெண் உறுப்புகளைக்கொண்ட பூச்சியமற்ற நிரலணி z க்கு:

z^{\mathrm {T} }Iz={\begin{bmatrix}a&b\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}}=a^{2}+b^{2}

, z பூச்சியமற்ற நிரலணி என்பதால் இது ஒரு நேர்ம மதிப்பு.

இதனை சிக்கலெண் அணியாகக் கருத, a , b எனும் சிக்கலெண் உறுப்புகளைக்கொண்ட பூச்சியமற்ற நிரலணி z க்கு:

z^{H}Iz={\begin{bmatrix}a^{*}&b^{*}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}}=a^{*}a+b^{*}b=|a|^{2}+|b|^{2}

, z பூச்சியமற்ற நிரலணி என்பதால் இது ஒரு நேர்ம மதிப்பு.

கீழுள்ள சமச்சீர், மெய்யெண் அணி ஒரு நேர்ம வரைவு அணியாகும்.

M={\begin{bmatrix}2&-1&0\\-1&2&-1\\0&-1&2\end{bmatrix}}

a, b , c ஆகிய உறுப்புகளைக்கொண்ட ஏதேனுமொரு பூச்சியமற்ற நிரலணி z எனில்:

{\begin{aligned}z^{\mathrm {T} }Mz=(z^{\mathrm {T} }M)z&={\begin{bmatrix}(2a-b)&(-a+2b-c)&(-b+2c)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}}\\&=2{a}^{2}-2ab+2{b}^{2}-2bc+2{c}^{2}\\&={a}^{2}+(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+{c}^{2}\end{aligned}}

இறுதியாகக் கிடைத்துள்ள

{a}^{2}+(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+{c}^{2}

ஆனது வர்க்கங்களின் கூடுதலாக இருப்பதால் அதன் மதிப்பு எதிர்மம் அற்றதாகும்; z = 0 அதாவது a = b = c = 0 எனும்போது மட்டும் அதன் மதிப்பு பூச்சியமாக இருக்கும்.

$A$ ஒரு நேர்மாற்றத்தக்க அணியானால் $A^{\mathrm {T} }A$ என்பது நேர்ம வரைவு அணியாக இருக்கும்.

$z$ ஒரு பூச்சியமற்ற நிரலணி எனில்,

z^{\mathrm {T} }A^{\mathrm {T} }Az=\|Az\|^{2}>0,

(

A

ஒரு நேர்மாற்றத்தக்க அணி என்பதால்

Az\neq 0.

)

எதிர்ம-வரைவு, அரை-வரைவு, வரைவற்ற அணி

ஒரு ஹெர்மைட் அணியின் ஐகென் மதிப்பு எதிர்மமாக, நேர்மமற்றதாக, எதிர்மமற்றதாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அவ்வணி முறையே எதிர்ம-வரைவு, எதிர்ம-அரைவரைவு, நேர்ம-அரைவரைவு அணியாக இருக்கும்.

எதிர்ம-வரைவு

n × n ஹெர்மைட் அணி M எதிர்ம-வரைவு எனில்:

x^{*}Mx<0\,

x ≠ 0,

x\in \mathbb {C} ^{n}

(மெய்யெண் அணி எனில் x ≠ 0,

x\in R^{n}

)

x* என்பது x இன் இணையிய இடமாற்று அணி

ஒரு அணியின் k- ஆவது வரிசை தலைமை முதன்மைச் சிற்றணியானது (leading principal minor) k ஒற்றையாக இருக்கும்போது எதிர்மமாகவும், k இரட்டையாக இருக்கும்போது நேர்மமாகவும் இருந்தால் அந்த அணியானது எதிர்ம-வரைவு அணியாக இருக்கும்.

நேர்ம-அரைவரைவு

M ஒரு நேர்ம-அரைவரைவு அணி (எதிர்மமற்ற வரைவு) எனில்:

x^{*}Mx\geq 0

,

\forall x\in C^{n}

(மெய்யெண் அணிக்கு

\forall x\in R^{n}

).

எந்தவொரு அணி Aக்கும், A*A ஒரு நேர்ம அரைவரைவு அணியாக இருக்கும். மேலும் (A) இன் தரம்= (A*A) இன் தரம்.

ஒரு ஹெர்மைட் அணியின் அனைத்து முதன்மை சிற்றணிகளும் எதிர்மமற்றதாக

இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அந்த அணி ஒரு நேர்ம அரைவரைவு அணியாக இருக்கும்.

எதிர்ம-அரைவரைவு

M ஒரு எதிர்ம அரைவரைவு அணி எனில்,

x^{*}Mx\leq 0

,

\forall x\in C^{n}

(மெய்யெண் அணிக்கு

\forall x\in R^{n}

).

வரைவற்றது

நேர்ம வரைவு அணியாகவோ, எதிர்ம வரைவு, நேர்ம அரைவரைவு, எதிர்ம வரைவு, எதிர்ம அரைவரைவு ஆகிய எதுவொன்றாகவும் இல்லாத ஒரு ஹெர்மைட் அணியானது வரைவற்ற அணி எனப்படும். நேர்ம மற்றும் எதிர்ம ஐகென்மதிப்புகளைக் கொண்டவையாகவும் வரைவற்ற அணிகள் வரையறுக்கப்படுகின்றன.

மேலும் சில பண்புகள்

M ஒரு நேர்ம-அரைவரைவு ஹெர்மைட் அணியென்பதைக் குறிக்க, சிலசமயங்களில் M ≥ 0 என்றும், M ஒரு நேர்ம-வரைவு ஹெர்மைட் அணியென்பதைக் குறிக்க M > 0 எனவும் எழுதப்படுகிறது.^[2]

M, N என்ற இரு சதுர அணிகளுக்கு M − N ≥ 0 எனில் M ≥ N. அதாவது, M − N அணியானது நேர்ம அரைவரைவு அணியாகும். இதன் மூலம் சதுர அணிகளின் கணத்தில் ‘பகுதி வரிசைப்படுத்தும் செயல்” வரையறுக்கப்படுகிறது. இதுபோல கண்டிப்பான பகுதி வரிசைப்படுத்தலையும் (M > N) வரையறுக்கலாம்.

ஒவ்வொரு நேர்ம வரைவு அணியும் நேர்மாற்றத்தக்க அணியாகும். அதன் நேர்மாறு அணியும் நேர்ம வரைவு அணியாக இருக்கும்.^[3]

M ≥ N > 0 எனில், N⁻¹ ≥ M⁻¹ > 0.^[4] M இன் மிகப்பெரிய kஆவது ஐகென் மதிப்பானது N இன் மிகப்பெரிய kஆவது ஐகென் மதிப்பை விடப்பெரியதாக இருக்கும்.

M ஒரு நேர்ம வரைவு அணி; மேலும் r > 0 ஒரு மெய்யெண் எனில்

rM அணியும் நேர்ம வரைவாக இருக்கும்.^[5]

M , N இரண்டும் நேர்ம வரைவு அணிகள் எனில், M + N^[5], MNM, NMN ஆகிய மூன்றும் நேர்ம வரைவு அணிகளாகும்.

மேலும் MN = NM, எனில், MN அணியும் நேர்ம வரைவு ஆகும்.

ஒரு நேர்ம வரைவு அணியின் ஒவ்வொரு முதன்மை உள்ளணியும் நேர்ம வரைவு அணியாக இருக்கும்.

M நேர்ம அரைவரைவு அணியெனில், Q^T M Q உம் நேர்ம வரைவு அணியாகும். M நேர்ம வரைவு அணியாகவும் Q முழுத்தரமும் கொண்டிருந்தால், Q^T M Q உம் நேர்ம வரைவு அணியாக இருக்கும்.^[6]

மூலைவிட்ட உறுப்புகள் m_ii மெய்யெண்களாகவும் எதிர்மமற்றவையாகவும் இருக்கும். இதனால் அணியின் சுவடு, tr(M) ≥ 0 ஆக இருக்கும். மேலும் ஒவ்வொரு முதன்மை உள்ளணியும் (குறிப்பாக 2 x 2 அணிகள்) நேர்ம வரைவணிகளாக இருக்கும் என்பதால்,^[7]

|m_{ij}|\leq {\sqrt {m_{ii}m_{jj}}}\leq {\frac {m_{ii}+m_{jj}}{2}}

இவற்றிலிருந்து

\max |m_{ij}|\leq \max |m_{ii}|

B² = M என்றவாறு ஒரு நேர்ம அரைவரைவு அணி B இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, M ஒரு நேர்ம அரைவரைவு அணியாக இருக்க முடியும். இவ்வாறு அமையும் B அணி தனித்ததாக இருக்கும்^[8]. மேலும் M இன் வர்க்கமூலம் (B = M^1/2) என்றும் அழைக்கப்படும்.

M > N > 0 எனில் M^1/2 > N^1/2 > 0.

M ஒரு சமச்சீர் அணியாகவும் (m_ij = m(i−j)), $\sum \nolimits _{j\neq 0}|m(j)|<m(0)$ ஆகவும் இருந்தால்,

M ஒரு கண்டிப்பான நேர்ம வரைவு அணியாக இருக்கும்.

M > 0, N ஒரு ஹெர்மைட் அணி; MN + NM ≥ 0 (MN + NM > 0) எனில்,

N ≥ 0 (N > 0).

M > 0 ஒரு மெய்யெண் அணி எனில்,

M > δI, δ > 0. இதில் I என்பது முற்றொருமை அணி.

நேர்ம அரைவரைவு சமச்சீர் அணிகளின் கணம் ஒரு குவிவுக் கணம் ஆகும்.

M , N இரண்டும் நேர்ம அரைவரைவு அணிகள் எனில், 0, 1 க்கு இடைப்பட்ட எந்தவொரு α மதிப்பிற்கும், αM + (1−α)N நேர்ம அரைவரைவு அணியாகும்.

x என்ற ஏதேனுமொரு திசையனுக்கு:

x^{\mathrm {T} }(\alpha M+(1-\alpha )N)x=\alpha x^{\mathrm {T} }Mx+(1-\alpha )x^{\mathrm {T} }Nx\geq 0.

M = (m_ij) ≥ 0, N ≥ 0 ஆகிய இரு நேர்ம அரைவரைவு அணிகளின் [[ஆடமார்டு பெருக்கல் (அணிகள்)|ஆடமார்டு பெருக்கலுக்குக் கீழ்வரும் இரு சமனிலிகள் உள்ள

\det(M\circ N)\geq \det(N)\prod \nolimits _{i}m_{ii}.

^[9]

det(M ○ N) ≥ det(M) det(N).^[10]

M = (m_ij) ≥ 0, N ≥ 0 ஆகிய இரு நேர்ம அரைவரைவு அணிகளின் [[ஆடமார்டு பெருக்கல் (அணிகள்)|ஆடமார்டு பெருக்கலுக்குக் கீழ்வரும் இரு சமனிலிகள் உள்ள

\det(M\circ N)\geq \det(N)\prod \nolimits _{i}m_{ii}.

^[11]

det(M ○ N) ≥ det(M) det(N).^[10]

குறிப்புகள்

↑ http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/9780470173862.app3/pdf
↑ This may be confusing, as sometimes nonnegative matrices are also denoted in this way. A common alternative notation is $M\succeq 0$ and $M\succ 0$ for positive semidefinite and positive definite matrices, respectively.
↑ (Horn & Johnson 1985), p. 397
↑ (Horn & Johnson 1985), Corollary 7.7.4(a)
↑ ^5.0 ^5.1 (Horn & Johnson 1985), Observation 7.1.3
↑ Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013). "7.1 Definitions and Properties". Matrix Analysis (Second Edition). கேம்பிறிட்ஜ் பல்கலைக்கழகப் பதிப்பகம். p. 431. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-0-521-83940-2.
Observation 7.1.8 Let $A\in M_{n}$ be Hermitian and let $C\in M_{n,m}$ :
* Suppose that $A$ is positive semidefinite. Then $C^{*}AC$ is positive semidefinite, nullspace( $C^{*}AC$ ) = nullspace( $AC$ ), and rank( $C^{*}AC$ )=rank( $AC$ )
* Suppose that $A$ is positive definite. Then rank( $C^{*}AC$ )=rank( $C$ ), and $C^{*}AC$ is positive definite if and only if rank( $C$ )= $m$
↑ (Horn & Johnson 1985), p. 398
↑ (Horn & Johnson 1985), Theorem 7.2.6 with k = 2
↑ (Horn & Johnson 1985), Theorem 7.8.6
↑ ^10.0 ^10.1 (Styan 1973)
↑ (Horn & Johnson 1985), Theorem 7.8.6