இசைத் தொடர்வரிசை (கணிதம்)

கணிதத்தில், இசைத் தொடர்வரிசை (harmonic progression, harmonic sequence) என்பது ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசையின் உறுப்புகளின் தலைகீழிகளை உறுப்புகளாகக் கொண்டதொரு தொடர்வரிசையாகும்.

சமானமாக, ஒரு தொடர்வரிசையின் ஒவ்வொரு உறுப்பும் (முதல் உறுப்பு தவிர) அதன் அண்டை உறுப்புகளின் இசைச் சராசரியாக இருந்தால், அது ஒரு இசைத் தொடர்வரிசையாகும்.

இசைத் தொடர்வரிசையினைப் பின்வருமாறும் எழுதலாம்:

{\frac {1}{a}},\ {\frac {1}{a+d}},\ {\frac {1}{a+2d}},\ {\frac {1}{a+3d}},\cdots ,

இதில், a பூச்சியமற்றதாகவும், −a/d இயல் எண்ணாக இல்லாமலும் இருக்க வேண்டும்.

கீழுள்ள முடிவுறு வடிவிலும் எழுதலாம்:

{\frac {1}{a}},\ {\frac {1}{a+d}},\ {\frac {1}{a+2d}},\ {\frac {1}{a+3d}},\cdots ,\ {\frac {1}{a+kd}},

இதில், a பூச்சியமற்றதாகவும், −a/d இயல் எண்ணாக இல்லாமல் அல்லது k ஐ விடப் பெரியதாக இருக்க வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்

கீழ்வரும் எடுத்துக்காட்டுகளில் $n$ ஓர் இயல் எண்; $\ n=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ \ldots \$

$1,{\tfrac {\ 1\ }{2}},\ {\tfrac {\ 1\ }{3}},\ {\tfrac {\ 1\ }{4}},\ {\tfrac {\ 1\ }{5}},\ {\tfrac {\ 1\ }{6}},\ \ldots \ ,\ {\tfrac {\ 1\ }{n}},\ \ldots \$
12, 6, 4, 3, $\ {\tfrac {12}{\ 5\ }},\ 2,\ \ldots \ ,\ {\tfrac {12}{\ n\ }},\ \ldots \$
30, −30, −10, −6, $\ -{\tfrac {30}{\ 7\ }},\ \ldots \ ,\ {\tfrac {30}{\ \left(3\ -\ 2n\right)\ }},\ \ldots \$
10, 30, −30, −10, −6, $\ \ldots \ {\tfrac {30}{\ \left(5\ -\ 2n\right)\ }},\ \ldots \$

இசைத் தொடர்வரிசைகளின் கூட்டுத்தொகை

முடிவிலா இசைத் தொடர்களின் விரிதொடர்களாக இருக்கும்; அவற்றின் கூட்டுத்தொகைகளைக் கண்டுபிடிக்க முடியாது.

வெவ்வேறான அலகு பின்னம்|அலகு பின்னங்களை உறுப்புகளாக் கொண்ட இசைத்தொடரின் கூட்டுத்தொகை ஒரு முழு எண்ணாக இருக்காது. ஏனெனில், குறைந்தது தொடர்வரிசையின் ஒரு உறுப்பின் பகுதியானது ஒரு பகா எண்ணை வகுஎண்ணாகக் கொண்டிருப்பதோடு, அப்பகா எண் வேறெந்த உறுப்புகளின் பகுதிகளையும் வகுக்காததாகவும் இருக்கும்.^[1]

வடிவவியலில் பயன்பாடு

A, B, C, D ஆகியவை ஒருகோட்டுப் புள்ளிகள்; மேலும் D ஆனது A, B ஆகிய இரண்டையும் பொறுத்த, C இன் இசையிணை எனில், இவற்றில் ஏதேனுமொரு புள்ளியிலிருந்து மற்ற மூன்று புள்ளிகளுக்குள்ள தூரங்கள் இசைத் தொடர்வரிசையில் அமைகின்றன.^[2]^[3] குறிப்பாக, AC, AB, AD; BC, BA, BD; CA, CD, CB; DA, DC, DB என்ற தொடர்வரிசைகள் ஒவ்வொன்றும் இசைத்தொடர்வரிசையாக இருக்கும். இத்தொடர்வரிசைகளுள்ள தூரங்கள் ஒவ்வொன்றும் கோட்டின் நிலையானத் திசைப்போக்கிற்கு ஏற்றவாறு குறியிடப்படுகின்றன.

முக்கோணத்தின் குத்துக்கோடுகள் கூட்டுத் தொடர்வரிசையிலும், பக்கங்கள் இசைத் தொடர்வரிசையிலும் அமைகின்றன.

மேற்கோள்கள்

↑ Erdős, P. (1932), "Egy Kürschák-féle elemi számelméleti tétel általánosítása" [Generalization of an elementary number-theoretic theorem of Kürschák] (PDF), Mat. Fiz. Lapok (in Hungarian), 39: 17–24{{citation}}: CS1 maint: unrecognized language (link). As cited by Graham, Ronald L. (2013), "Paul Erdős and Egyptian fractions", Erdős centennial, Bolyai Soc. Math. Stud., vol. 25, János Bolyai Math. Soc., Budapest, pp. 289–309, CiteSeerX 10.1.1.300.91, எண்ணிம ஆவணச் சுட்டி:10.1007/978-3-642-39286-3_9, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-3-642-39285-6, MR 3203600.
↑ Chapters on the modern geometry of the point, line, and circle, Vol. II by Richard Townsend (1865) p. 24
↑ Modern geometry of the point, straight line, and circle: an elementary treatise by John Alexander Third (1898) p. 44

Mastering Technical Mathematics by Stan Gibilisco, Norman H. Crowhurst, (2007) p. 221
Standard mathematical tables by Chemical Rubber Company (1974) p. 102
Essentials of algebra for secondary schools by Webster Wells (1897) p. 307

[1] Erdős, P. (1932), "Egy Kürschák-féle elemi számelméleti tétel általánosítása" [Generalization of an elementary number-theoretic theorem of Kürschák] (PDF), Mat. Fiz. Lapok (in Hungarian), 39: 17–24{{citation}}: CS1 maint: unrecognized language (link). As cited by Graham, Ronald L. (2013), "Paul Erdős and Egyptian fractions", Erdős centennial, Bolyai Soc. Math. Stud., vol. 25, János Bolyai Math. Soc., Budapest, pp. 289–309, CiteSeerX 10.1.1.300.91, எண்ணிம ஆவணச் சுட்டி:10.1007/978-3-642-39286-3_9, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-3-642-39285-6, MR 3203600.

[2] Chapters on the modern geometry of the point, line, and circle, Vol. II by Richard Townsend (1865) p. 24

[3] Modern geometry of the point, straight line, and circle: an elementary treatise by John Alexander Third (1898) p. 44

[1]

[2]

[3]