இரட்டை, ஒற்றைச் சார்புகள்

கணிதத்தில், இரட்டை, ஒற்றைச் சார்புகள் (even functions, odd functions) என்பவை கூட்டல் நேர்மாறுகளை எடுப்பதைப் பொறுத்து குறிப்பிட்ட சமச்சீர்மை முடிவுகளை நிறைவுசெய்யும் சார்புகளாகும். இவை பகுவியலிலில், especially the theory of அடுக்குத் தொடர் மற்றும் வூரியே தொடர்களின் கோட்பாட்டில் முக்கியத்துவம் வாய்ந்தவை. கீழ்வரும் கட்டுப்பாடுகள் ஒவ்வொன்றையும் நிறைவு செய்யும் அடுக்குச் சார்பின் அடுக்குகளின் நிகரிகளுக்கான பெயர்களாக அமைகின்றன:

• n ஒரு இரட்டை முழு எண் எனில், $f(x)=x^{n}$ ஒரு இரட்டைச் சார்பு;
• n ஒரு ஒற்றை முழுஎண் எனில், $f(x)=x^{n}$ ஒரு ஒற்றைச் சார்பு.

The sine function and all of its டெய்லர் தொடர்s are odd functions. This image shows $\sin(x)$ and its Taylor approximations, polynomials of degree 1, 3, 5, 7, 9, 11 and 13.

The cosine function and all of its டெய்லர் தொடர் are even functions. This image shows $\cos(x)$ and its Taylor approximation of degree 4.

வரையறையும் எடுத்துக்காட்டுகளும்

இரட்டைத்தன்மை, ஒற்றைத்தன்மை ஆகிய இரண்டும் பொதுவாக மெய்ச்சார்புகளுக்கு (தருமதிப்பும், பெறுமதிப்பும் மெய்யெண்களாகக் கொண்ட சார்புகள்) அமைகின்றன. எனினும் பொதுவாக இவை, கூட்டல் நேர்மாறு கருத்துகளைக் கொண்ட ஆட்களத்தையும் இணையாட்களத்தையுமுடைய சார்புகளுக்கும் வரையறுக்கப்படுகின்றன. பரிமாற்றுக் குலங்கள், அனைத்து வளையங்கள், அனைத்து களங்கள், அனைத்து திசையன் வெளிகளும் இதில் அடங்கும். எடுத்துக்காட்டாக, திசையன் மாறியிலிலமைந்த சிக்கலெண் மதிப்புச் சார்பானது இரட்டை/ஒற்றையாக இருக்கக்கூடியதைப் போன்றே ஒரு மெய்மதிப்புச் சார்பும் இரட்டை/ஒற்றையாக அமையும்.

சார்புகளின் வரைபடங்களின் சமச்சீர்மையை விளக்குவதற்காக கீழே தரப்படும் எடுத்துக்காட்டுகள் மெய்ச்சார்புகளாகத் தரப்பட்டுள்ளன.

இரட்டைச் சார்புகள்

$f(x)=x^{2}$, இரட்டைச் சார்புக்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு

f , மெய்மாறியிலமைந்த மெய்மதிப்புச் சார்பு. f இன் ஆட்களத்திலுள்ள x களுக்கும் x = −x என மாற்றும்போது கீழ்வரும் சமன்பாட்டில் எந்தவொரு மாற்றமும் இல்லையென்றால் f ஒரு இரட்டைச் சார்பு:

$f(-x)=f(x)$ (Eq.1)

அல்லது சமானமாக, x இன் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் கீழ்வரும் சமன்பாடு உண்மையாக இருக்கும்:

$f(x)-f(-x)=0.$

இரட்டைச் சார்பின் வரைபடமானது y-அச்சைப் பொறுத்து சமச்சீரானது; அதாவது, y-அச்சில் வரைபடத்தின் எதிரொளிப்பு மூல வரைபடத்தைப் போலவே இருக்கும்.

இரட்டைச் சார்புக்கான எடுத்துக்காட்டுகள்:

• தனி மதிப்பு $x\mapsto |x|,$
• $x\mapsto x^{2},$
• $x\mapsto x^{4},$
• கொசைன் $\cos ,$
• மீவளையக் கொசைன் $\cosh ,$
• காசியச் சார்பு $x\mapsto \exp(-x^{2}).$

ஒற்றைச் சார்பு

$f(x)=x^{3}$ is an example of an odd function.

f , மெய்மாறியிலமைந்த மெய்மதிப்புச் சார்பு. f இன் ஆட்களத்திலுள்ள x களுக்கும் x = −x என மாற்றும்போது கீழ்வரும் சமன்பாடு உண்மையென்றால் f ஒரு ஒற்றைச் சார்பு::

$f(-x)=-f(x)$ (Eq.2)

அல்லது சமானமாக, x இன் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் கீழ்வரும் சமன்பாடு உண்மையாக இருக்கும்:

$f(x)+f(-x)=0.$

ஒற்றைச் சார்புகளின் வரைபடங்கள் ஆதிப்புள்ளியைப் பொறுத்துச் சுழற்சி சமச்சீர்மை கொண்டிருக்கும். மேலும் அந்த வரைபடங்களை ஆதியைப் பொறுத்து 180 பாகைகள் சுழற்றினால் அவை எந்தவொரு மாற்றமுமடையாது.

ஒற்றைச் சார்பின் எடுத்துக்காட்டுகள்:

• குறிச் சார்பு $x\mapsto \operatorname {sgn}(x),$
• $x\mapsto x,$
• $x\mapsto x^{3},$
• சைன் $\sin ,$
• மீவளைய சைன் $\sinh ,$
• பிழைச் சார்பு $\operatorname {erf} .$

$f(x)=x^{3}+1,$ இரட்டைச் சார்புமில்லை; ஒற்றைச் சார்புமில்லை.

அடிப்படைப் பண்புகள்

தனித்துவம்

• ஒரு சார்பானது ஒரே சமயத்தில் ஒற்றையாகவும் இரட்டையாகவும் இருந்தால் அது வரையறுக்கப்பட்ட மதிப்புகளுக்கெல்லாம் சார்பின் மதிப்பானது பூச்சியமாக இருக்கும்.
• சார்பு ஒற்றையாக இருந்தால், அதன் தனி மதிப்புச் சார்பு இரட்டைச் சார்பாக இருக்கும்.

கூட்டலும் கழித்தலும்

• இரு இரட்டைச் சார்புகளின் கூடுதலாக அமையும் சார்பு, ஒரு இரட்டைச் சார்பாக இருக்கும்.
• இரு ஒற்றைச் சார்புகளின் கூடுதலாக அமையும் சார்பு, ஒரு ஒற்றைச் சார்பாக இருக்கும்.
• இரு ஒற்றைச் சார்புகளின் வித்தியாசமாக அமையும் சார்பு, ஒரு ஒற்றைச் சார்பாக இருக்கும்.
• இரு இரட்டைச் சார்புகளின் வித்தியாசமாக அமையும் சார்பு, ஒரு இரட்டைச் சார்பாக இருக்கும்.
• ஒரு இரட்டை மற்றுமொரு ஒற்றைச் சார்பின் கூடுதல் இரட்டைச் சார்பாகவோ அல்லது ஒற்றைச் சார்பாகவோ இருக்காது. அவ்வாறு இருக்குமாயின் கண்டிப்பாக இரண்டில் ஒரு சார்பானது ஆட்களம் முழுவதும் பூச்சியமாக இருக்கவேண்டும்.

பெருக்கலும் வகுத்தலும்

• இரு இரட்டைச் சார்புகளின் பெருக்கலாக அமையும் சார்பு, ஓர் இரட்டைச் சார்பாக இருக்கும்.
  • பல இரட்டைச் சார்புகளின் பெருக்கற்பலனும் ஓர் இரட்டைச் சார்பாகவே இருக்கும்.
• இரு ஒற்றைச் சார்புகளின் பெருக்கலாக அமையும் சார்பு, ஓர் ஒற்றைச் சார்பாக இருக்கும்.T.
• ஒரு இரட்டை மற்றுமொரு ஒற்றைச் சார்பின் பெருக்கற்பலன் ஓர் ஒற்றைச் சார்பு.
• இரு இரட்டைச் சார்புகளின் வகுத்தலாக அமையும் சார்பு, ஓர் இரட்டைச் சார்பாக இருக்கும்.
• இரு ஒற்றைச் சார்புகளின் வகுத்தலாக அமையும் சார்பு, ஓர் இரட்டைச் சார்பாக இருக்கும்.
• ஓர் இரட்டை மற்றுமொரு ஒற்றைச் சார்பின் வகுத்தலாக அமையும் சார்பு ஓர் ஒற்றைச் சார்பு.

சார்புகளின் தொகுப்பு

• இரு இரட்டைச் சார்புகளின் தொகுப்பு ஓர் இரட்டைச் சார்பு.
• இரு ஒற்றைச் சார்புகளின் தொகுப்பு ஓர் ஒற்றைச் சார்பு.
• ஓர் ஒற்றை மற்றுமோர் இரட்டைச் சார்புகளின் தொகுப்பு இரட்டைச் சார்பாகும்.
• எந்தவொரு சார்பு மற்றும் ஓர் இரட்டைச் சார்பின் தொகுப்பு ஓர் இரட்டைச் சார்பு (மறுதலை உண்மையில்லை).

இரட்டை-ஒற்றை பிரிப்பு

ஒவ்வொரு சார்பும் ஓர் இரட்டை மற்றுமோர் ஒற்றைச் சார்பின் கூடுதலாகப் பிரிக்கப்படலாம். அவை முறையே அச்சார்பின் "இரட்டைப் பகுதி", "ஒற்றைப் பகுதி" எனப்படும்.

$f_{\text{e}}(x)={\frac {f(x)+f(-x)}{2}}$ (Eq.3)

மேலும்,

$f_{\text{o}}(x)={\frac {f(x)-f(-x)}{2}}$ (Eq.4)

எனில்:

$f_{\text{e}}$ இரட்டைச் சார்பு; $f_{\text{o}}$ ஒற்றைச் சார்பு,

$f(x)=f_{\text{e}}(x)+f_{\text{o}}(x).$

மறுதலையாக

$f(x)=g(x)+h(x),$; g இரட்டை; h ஒற்றை எனில்:

$g=f_{\text{e}},$ $h=f_{\text{o}},$ ஏனெனில்,

${\begin{aligned}2f_{\text{e}}(x)&=f(x)+f(-x)=g(x)+g(-x)+h(x)+h(-x)=2g(x),\\2f_{\text{o}}(x)&=f(x)-f(-x)=g(x)-g(-x)+h(x)-h(-x)=2h(x).\end{aligned}}$

எடுத்துக்காட்டாக அடுக்கேற்றச் சார்பின் இரட்டைப் பகுதியாக அதிபரவளைவு கொசைன்: "cosh"யும், ஒற்றைப் பகுதியாக மீவளை சைன்: "sinh"யும் கருதலாம் ("cosh" இரட்டைச் சார்பு; "sinh" ஒற்றைச் சார்பு):

$e^{x}=\underbrace {\cosh(x)} _{f_{\text{e}}(x)}+\underbrace {\sinh(x)} _{f_{\text{o}}(x)}$.

பகுமுறை பண்புகள்

ஒரு சார்பின் இரட்டை/ஒற்றைத்தன்மை அச்சார்பின் வகையிடக்கூடியதன்மையையோ தொடர்ச்சியையோ தருவதில்லை. எடுத்துக்காட்டாக, டெரிக்லா சார்பானது இரட்டைச் சார்பு; ஆனால் அது எவ்விடத்திலும் தொடர்ச்சியானதல்ல.

அடிப்படை பகுமுறை பண்புகள்

• ஓர் இரட்டைச் சார்பின் வகைக்கெழுச் சார்பானது ஒற்றையாகும்.
• ஓர் ஒற்றைச் சார்பின் வகைக்கெழுச் சார்பானது இரட்டையாகும்.
• −A முதல் +A வரையிலான ஓர் ஒற்றைச் சார்பின் தொகையீடு பூச்சியமாக இருக்கும் (A முடிவுள்ளதாகவும், −A முதல் A வரை சார்புக்கு, [[அணுகுகோடு|குத்து தொலைத்தொடுகள் எதுவும் இருக்கக்கூடாது).

ஒரு சமச்சீரான இடைவெளியில் எ.கா:$[-A,A]$, ஒற்றைச் சார்பின் தொகையீடு பூச்சியம்:

• $\int _{-A}^{A}f(x)\,dx=0$.

• −A முதல் +A வரையிலான ஓர் இரட்டைச் சார்பின் தொகையீடு, 0 முதல் +A வரையிலான அச் சார்பின் தொகையீட்டைப் போல இருமடங்காக இருக்கும் (A முடிவுள்ளதாகவும், −A முதல் A வரை அச் சார்புக்கு, குத்து தொலைத்தொடுகள் எதுவும் இருக்கக்கூடாது). A முடிவுள்ளதாக இருப்பதோடு சார்பின் தொகையீடு ஒருங்குவதாக இருந்தால் மட்டுமே இது உண்மையாக இருக்கும்:

  $\int _{-A}^{A}f(x)\,dx=2\int _{0}^{A}f(x)\,dx$.

தொடர்கள்

• ஓர் இரட்டைச் சார்பின் மெக்லாரின் தொடரிலுள்ள உறுப்புகள் அனைத்தும் இரட்டை அடுக்குகளைக் கொண்டவை.
• ஓர் ஒற்றைச் சார்பின் மெக்லாரின் தொடரிலுள்ள உறுப்புகள் அனைத்தும் ஒற்றை அடுக்குகளைக் கொண்டவை.
• ஓர் இரட்டைக் காலமுறைச் சார்பின் வூரியே தொடரிலுள்ள உறுப்புகள் அனைத்தும் கொசைனைக் (cos) கொண்டிருக்கும்.
• ஓர் ஒற்றைக் காலமுறைச் சார்பின் வூரியே தொடரிலுள்ள உறுப்புகள் அனைத்தும் சைனைக் (sin) கொண்டிருக்கும்.
• முழுவதுமாக மெய்-மதிப்புகளைக்கொண்ட இரட்டைச் சார்பின் வூரியே மாற்று, ஒரு மெய் மற்றும் இரட்டைச் சார்பாகும்.
• முழுவதுமாக மெய்-மதிப்புகளைக்கொண்ட ஒற்றைச் சார்பின் வூரியே மாற்று, ஒரு கற்பனை மற்றும் ஒற்றைச் சார்பாகும்.

பொதுமைப்படுத்தல்கள்

பன்மாறிச் சார்புகள்

இரட்டைச் சமச்சீர்மை:

$f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ என்பது இரட்டைச் சமச்சீர் சார்பு எனில்:

$f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=f(-x_{1},-x_{2},\ldots ,-x_{n})\quad {\text{for all }}x_{1},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {R}$

ஒற்றைச் சமச்சீர்மை:

$f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ என்பது ஒற்றைச் சமச்சீர் சார்பு எனில்:

$f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=-f(-x_{1},-x_{2},\ldots ,-x_{n})\quad {\text{for all }}x_{1},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {R}$

சிக்கலெண்-மதிப்புச் சார்புகள்

மெய்-தருமதிப்புகளைக்கொண்ட சிக்கலெண்-மதிப்புச் சார்புகளின் இரட்டை மற்ரும் ஒற்றைச் சமச்சீர்மைகளின் வரையறை மெய்-மதிப்புச் சார்புகளுக்குப் போன்றதே ஆகும். எனினும் அவை இணைச் சிக்கலெண்களைக் கொண்டமையும்.

இரட்டைச் சமச்சீர்மை:

$f:\mathbb {R} \to \mathbb {C}$ என்ற மெய்-தருமதிப்புகளைக்கொண்ட சிக்கலெண்-மதிப்புச் சார்பு, ஓர் இரட்டைச் சமச்சீர் சார்பு எனில்:

$f(x)={\overline {f(-x)}}\quad {\text{for all }}x\in \mathbb {R}$

ஒற்றைச் சமச்சீர்மை:

$f:\mathbb {R} \to \mathbb {C}$ என்ற $f:\mathbb {R} \to \mathbb {C}$ என்ற மெய்-தருமதிப்புகளைக்கொண்ட சிக்கலெண்-மதிப்புச் சார்பு, ஓர் ஒற்றைச் சமச்சீர் சார்பு எனில்:

$f(x)=-{\overline {f(-x)}}\quad {\text{for all }}x\in \mathbb {R}$

முடிவுறு நீளத் தொடர்கள்

இரட்டை/ஒற்றைச் சமச்சீர்மையானது N-புள்ளி தொடர்களுக்கும் நீட்டிக்கப்படுகிறது (அ.து $f:\left\{0,1,\ldots ,N-1\right\}\to \mathbb {R}$ என்றவாறமையும் சார்புகள்):

இரட்டைச் சமச்சீர்மை:

ஒரு N-புள்ளி தொடர், இரட்டைச் சமச்சீர் எனில்:

$f(n)=f(N-n)\quad {\text{for all }}n\in \left\{1,\ldots ,N-1\right\}.$

இத்தகைய தொடர்கள், "இருவழியொத்த தொடர்கள்" (palindromic sequence) என அழைக்கப்படுகின்றன.

ஒற்றைச் சமச்சீர்மை:

ஒரு N-புள்ளி தொடர், ஒற்றைச் சமச்சீர் எனில்:

$f(n)=-f(N-n)\quad {\text{for all }}n\in \left\{1,\ldots ,N-1\right\}.$

இத்தகைய தொடர்கள், "எதிர்-இருவழியொத்த தொடர்கள்" (anti-palindromic sequence) என அழைக்கப்படுகின்றன.

மேற்கோள்கள்

• Gelfand, I. M.; Glagoleva, E. G.; Shnol, E. E. (2002) [1969], Functions and Graphs, Mineola, N.Y: Dover Publications