நிறைவெண் (கணிதம்)

கணிதத்தில் n என்ற ஒவ்வொரு நேர்ம முழு எண்ணுக்கும், அதன் காரணிகளின் (1 உள்பட) கூட்டுத்தொகை σ(n) என்று குறிக்கப்படும். அக்காரணிகளில் n ம் ஒன்றாகும். n ஐ நீக்கிவிட்டு மீதமுள்ள எல்லா காரணிகளையும் கூட்டி வரும் தொகை s(n) என்று குறிக்கப்படும். இப்பொழுது மூன்றுவித சூழ்நிலைகள் உருவாகக்கூடும்.

1. σ(n) = 2n ; இதுவே s(n) = n என்பதற்குச் சமம்.

2. σ(n) < 2n ; இதுவே s(n) < n என்பதற்குச் சமம்.

3. σ(n) > 2n ; இதுவே s(n) > n என்பதற்குச் சமம்.

முதல் சூழ்நிலையில் n ஒரு நிறைவெண் (Perfect Number) அல்லது செவ்விய எண் என்றும் இரண்டாவது சூழ்நிலையில் n ஒரு 'குறைவெண்' (Deficient number) என்றும், மூன்றாவது சூழ்நிலையில் n ஒரு 'மிகையெண்' (Abundant Number) என்றும் பெயர் பெறும். இக்கட்டுரை நிறைவெண் பற்றியது.

எடுத்துக்காட்டுகள்

முதல் நிறைவெண் 6. அதன் காரணிகள் 1, 2, 3, 6. σ(n) = 12; s(n) = 6.

அடுத்த நிறைவெண் 28. ஏனென்றால், 1+ 2+ 4+ 7+ 14 = 28.

அடுத்த நிறைவெண் 496. ஏனென்றால் 1+2+4+8+16+31+62+124+248 = 496 (OEIS-இல் வரிசை A000396) .

கண்டுபிடிப்பு

முதல் நான்கு நிறைவெண்கள் கிரேக்ககாலத்திலேயே புழங்கப்பட்டவை. நான்காவது நிறைவெண் 8128 என்பதை நிக்கொமாகசு என்ற கிரேக்க அறிவியலர் கி.மு100 இல் கண்டுபிடித்தார்.

1456 -ல், பெயர் அறியப்படாத ஒரு கணிதவியலாளர் ஐந்தாவது செவ்விய எண் 33,550,336 என்பதற்கான குறிப்பை முதலாவதாகப் பதிவு செய்துள்ளார்.

1588 -ல், இத்தாலிய கணிதவியலாளர் பியேட்ரோ கடால்டி, ஆறாவது செவ்விய எண் (8,589,869,056) எனவும் ஏழாவது செவ்விய எண் (137,438,691,328) எனவும் கண்டுபிடித்துள்ளார்.

ஒற்றைப்படை நிறைவெண்கள் உண்டா?

சூன் 2010 வரை 47 நிறைவெண்கள் கண்டுபிடிக்கப்பட்டுள்ளன. அவையெல்லாமே இரட்டைப்படை எண்கள்தாம். ஒரு நிறைவெண் ஒற்றைப்படையாக இருக்கமுடியுமா என்ற கேள்வியை இன்று (2011) வரை யாராலும் விடுவிக்க முடியவில்லை.

இரட்டை நிறைவெண்கள்

முதல் நான்கு நிறைவெண்களும் பின்வரும் வாய்ப்பாட்டினால் பிறப்பிக்கப்படுவதை யூக்ளிடு கண்டறிந்தார்:

2^p−1(2^p−1), p ஒரு பகா எண்

p = 2 எனில்:   2¹(2²−1) = 6

p = 3 எனில்:   2²(2³−1) = 28

p = 5 எனில்:   2⁴(2⁵−1) = 496

p = 7 எனில்:   2⁶(2⁷−1) = 8128.

இந்நான்கிலும் 2^p−1 -ன் மதிப்பு பகா எண்களாக இருப்பதைக் கண்ட யூக்ளிட், 2^p−1 பகா எண்ணாக இருக்கும்போதெல்லாம் 2^p−1(2^p−1), ஒரு இரட்டை நிறைவெண்ணாக இருக்கும் என்பதை நிரூபித்தார்.(Euclid, Prop. IX.36).

2^p−1, ஒரு பகா எண்ணாக இருப்பதற்கு p ஒரு பகா எண்ணாக இருந்தாக வேண்டும். 17ம் நூற்றாண்டில் வாழ்ந்த பிரெஞ்சு துறவி மேரின் மெர்சேன் பெயரால் 2^p−1 -வடிவில் அமையும் பகா எண்கள், மெர்சேன் பகா எண்கள் என அழைக்கப்படுகின்றன. எனினும் 2^p−1, (p ஒரு பகா எண்) வடிவில் அமையும் எல்லா எண்களும் பகா எண்களாக இருப்பதில்லை. எடுத்துக்காட்டாக, 2¹¹−1 = 2047 = 23 × 89- இது ஒரு பகா எண் இல்லை. மெர்சேன் பகா எண்கள் அரிதானவை. 1,000,000 -க்கும் கீழுள்ள 78,498 பகா எண்கள் p -களில், 33 மட்டுமே, 2^p−1 வடிவில் அமையும் எண் பகா எண்களாக உள்ளன.

யூக்ளிடின் காலத்திற்கு ஆயிரமாண்டுகளுக்குப் பின் கிபி 1000-ல் இயற்பியலாளரும் கணிதவியலாளருமான இப்னு அல் ஹேத்தம் ஒவ்வொரு இரட்டை நிறைவெண்ணும் 2^p−1(2^p−1) (இதில் 2^p−1 ஒரு பகா எண்) வடிவில் அமையும் என்ற அனுமான கூற்றை முன்வைத்தார். ஆனால் அவரால் அக்கூற்றை நிரூபிக்க இயலவில்லை. 18ம் நூற்றாண்டு கணிதவியலாளர் ஆய்லர், 2^p−1(2^p−1) -வாய்ப்பாடு அனைத்து இரட்டை நிறைவெண்களைத் தருமென நிரூபித்தார். எனவே இரட்டை நிறைவெண்களுக்கும் மெர்சேன் பகா எண்களுக்குமிடையே ஒரு ஒன்றுக்கொன்று தொடர்பு உள்ளது. இந்தத் தொடர்பு யூக்ளிடு-ஆய்லர் தேற்றம் எனக் குறிப்பிடப்படுகிறது.

முதல் 48 இரட்டை நிறைவெண்கள்:

$2^{p-1}(2^{p}-1)$;

p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801, 43112609 and 57885161 (OEIS-இல் வரிசை A000043)

.

p = 74207281, 77232917, 82589933 ஆகிய மூன்று மதிப்புக்களுக்கு, மேலும் மூன்று இரட்டை நிறைவெண்கள் கண்டுபிடிக்கப்பட்டுள்ளன. இவற்றுக்கு இடைப்பட்ட பிற நிறைவெண்களுமிருக்கக்கூடும். ஆனால் இணையவழி மெர்சென் பெருந்தேடல் திட்டத்தின்மூலம், 109332539 க்குக் குறைவான p இன் மதிப்புகளுக்கு எந்தவொரு நிறைவெண்களும் இல்லையென்பது சரிபார்க்கப்பட்டுள்ளது. திசம்பர் 2018 வரை, 51 மெர்சென் பகாஎண்கள் கண்டுபிடிக்கப்பட்டுள்ளது. எனவே அதுவரையிலான கண்டுபிடிக்கப்பட்ட இரட்டை நிறைவெண்களின் எண்ணிக்கையும் 51 ஆகும் (இவற்றுள் மிகப்பெரிய எண், 49,724,095 இலக்கங்கொண்ட 2^82589932 × (2^82589933 − 1)). இரட்டை நிறைவெண்களோ அல்லது மெர்சென் பகா எண்களோ முடிவிலா எண்ணிக்கையில் உள்ளனவா என்ற கேள்விக்கான விடை இன்னமும் அறியப்படவில்லை.

ஒவ்வொரு இரட்டை நிறைவெண்ணும் 2^p−1(2^p−1) வடிவில் அமைவதால் அவ்வெண், (2^p−1) -வது முக்கோண எண்ணாகவும் 2^p−1 -வது அறுகோண எண்ணாகவும் இருக்கும். மேலும் முதல் எண்ணைத் தவிர மற்ற இரட்டை நிறைவெண்கள் ஒவ்வொன்றும் ((2^p+1)/3) -வது மையப்படுத்தப்பட்ட நவகோண எண்ணாகவும் முதல் 2^(p−1)/2, ஒற்றைக் கன எண்களின் கூடுதலாகவும் அமையும்:

${\begin{aligned}6&=2^{1}(2^{2}-1)&&=1+2+3,\\[8pt]28&=2^{2}(2^{3}-1)&&=1+2+3+4+5+6+7=1^{3}+3^{3},\\[8pt]496&=2^{4}(2^{5}-1)&&=1+2+3+\cdots +29+30+31\\&&&=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3},\\[8pt]8128&=2^{6}(2^{7}-1)&&=1+2+3+\cdots +125+126+127\\&&&=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}+9^{3}+11^{3}+13^{3}+15^{3},\\[8pt]33550336&=2^{12}(2^{13}-1)&&=1+2+3+\cdots +8189+8190+8191\\&&&=1^{3}+3^{3}+5^{3}+\cdots +123^{3}+125^{3}+127^{3}.\end{aligned}}$

மேற்கோள்கள்

• Euclid, Euclid's Elements, Book IX, Proposition 36. See D.E. Joyce's website for a translation and discussion of this proposition and its proof.
• H.-J. Kanold, "Untersuchungen über ungerade vollkommene Zahlen", Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 183 (1941), pp. 98–109.
• R. Steuerwald, "Verschärfung einer notwendigen Bedingung für die Existenz einer ungeraden vollkommenen Zahl", S.-B. Bayer. Akad. Wiss., 1937, pp. 69–72.

மேலும் படிப்பதற்கு

• Dickson, L.E.: History of the Theory of Numbers, 1, Chelsea, reprint, 1952.
• Nankar, M.L.: "History of perfect numbers," Ganita Bharati 1, no. 1–2 (1979), 7–8.
• Hagis, P.: "A Lower Bound for the set of odd Perfect Prime Numbers", Mathematics of Computation 27, (1973), 951–953.
• Riele, H.J.J. "Perfect Numbers and Aliquot Sequences" in H.W. Lenstra and R. Tijdeman (eds.): Computational Methods in Number Theory, Vol. 154, Amsterdam, 1982, pp. 141–157.
• Riesel, H. Prime Numbers and Computer Methods for Factorisation, Birkhauser, 1985.

வெளி இணைப்புகள்

• David Moews: Perfect, amicable and sociable numbers
• Perfect numbers - History and Theory
• OddPerfect.org பரணிடப்பட்டது 2018-11-06 at the வந்தவழி இயந்திரம் A projected distributed computing project to search for odd perfect numbers
• Great Internet Mersenne Prime Search
• Perfect Numbers, Math forum at Drexel