குறைக்கவியலாப் பல்லுறுப்புக்கோவை

கணிதத்தில் குறைக்கவியலாப் பல்லுறுப்புக்கோவை (irreducible polynomial) என்பது மாறிலி உறுப்புகளை மட்டும் கொண்டிராத இரு பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் பெருக்கற்பலனாக காரணிப்படுத்த முடியாத பல்லுறுப்புக்கோவையைக் குறிக்கும். ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் குறைக்கவியலாத்தன்மையானது, அதன் கெழுக்களும் அது பிரிக்கப்படக்கூடிய காரணிகளும் அமையும் களத்தைப் பொறுத்திருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டாக, $x 2 - 2$ பல்லுறுப்புக்கோவையின் கெழுக்களை முழு எண்களாகவும் மெய்யெண்களாகவும் எடுத்துக்கொள்ளலாம். இப்பல்லுறுப்புக்கோவையின் காரணிவடிவம்: $\left(x-{\sqrt {2}}\right)\left(x+{\sqrt {2}}\right)$ இக்காரணிகளில் உள்ள மாறிலி உறுப்பான ${\sqrt {2}}$ முழுஎண் அல்ல; அது ஒரு மெய்யெண் ஆகும். எனவே பல்லுறுப்புக்கோவை $x 2 - 2$ ஆனது முழுஎண்களைப் பொறுத்து குறைக்கவியலாது; ஆனால் மெய்யெண்களில் குறைக்கவியலும் பல்லுறுப்புக்கோவையாகும்.

அதன் கெழுக்கள் அமைந்துள்ள களங்கள் அனைத்திலும் குறைக்கவியலாததாகவுள்ள பல்லுறுப்புக்கோவையானது. முற்றாகக் குறைக்கவியலாப் பல்லுறுப்புக்கோவை எனப்படும். இயற்கணிதத்தின் அடிப்படைத் தேற்றத்தின்படி, ஒருமாறியிலமைந்த பல்லுறுப்புக்கோவையின் அடுக்கெண் '1' ஆக 'இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே' அது 'முற்றாக குறைக்கவியலாப் பல்லுறுப்புக்கோவை'யாக இருக்கும். மாறாக, பன்மாறிகளிலமைந்த பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் அடுக்கெண்கள் '1' ஆக மட்டுமில்லாமல் வேறாக இருந்தாலும் அப்பல்லுறுப்புக்கோவைகள் முற்றாகக் குறைக்கவியலாப் பல்லுறுப்புக்கோவைகளாக இருக்க முடியும். எடுத்துக்காட்டாக, $x^{2}+y^{n}-1,$ ( $n$ , ஏதேனுமொரு நேர்ம முழுஎண்) என்ற பல்லுறுப்புக்கோவையைச் முழுஎண்கள் முதல் சிக்கலெண்கள் வரையிலான எண்களில் குறைக்கவியலாது. எனவே இது ஒரு முற்றாகக் குறைக்கவியலாப் பல்லுறுப்புக்கோவையாகும்.

குறைக்கவியலாத பல்லுறுப்புக்கோவைகள் சில இடங்களில் "குறைக்கவியலும் பல்லுறுப்புக்கோவை]]கள் எனக் குறிப்பிடப்படுகின்றன.^[1]^[2]

குறைக்கவியலாப் பல்லுறுப்புக்கோவைகளை பகா எண்களுடன் ஒப்பிடலாம்: பகாஎண்களின் வரையறைப்படி, அவை குறைக்கவியலா முழுஎண்களாகும். பல்லுறுப்புக்கோவையின் குறைக்கவியலாத்தன்மையின் பல பொதுவான பண்புகளை பகாஎண்களும் கொண்டுள்ளன. ஒரு குறைக்கவியலாப் பல்லுறுப்புக்கோவையின் கெழுக்களின் வளையமானது களமாகவோ அல்லது பிற தனித்த காரணிப்படுத்தல் ஆட்களமாகவோ இருக்கும்பொழுது, அந்தக் குறைக்கவியலாப் பல்லுறுப்புக்கோவையானது பகாச் சீர்மத்தைப் பிறப்பிக்கும். எனவே அது பகாப் பல்லுறுப்புக்கோவை (prime polynomial) எனவும் அழைக்கப்படும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்

கீழுள்ள ஆறு பல்லுறுப்புக்கோவைகளும் குறைக்கவியலும்/குறைக்கவியலாப் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் சில அடிப்படைப் பண்புகளைக் காட்டுகின்றன:

{\begin{aligned}p_{1}(x)&=x^{2}+4x+4\,={(x+2)^{2}}\\p_{2}(x)&=x^{2}-4\,={(x-2)(x+2)}\\p_{3}(x)&=9x^{2}-3\,=3\left(3x^{2}-1\right)\,=3\left(x{\sqrt {3}}-1\right)\left(x{\sqrt {3}}+1\right)\\p_{4}(x)&=x^{2}-{\frac {4}{9}}\,=\left(x-{\frac {2}{3}}\right)\left(x+{\frac {2}{3}}\right)\\p_{5}(x)&=x^{2}-2\,=\left(x-{\sqrt {2}}\right)\left(x+{\sqrt {2}}\right)\\p_{6}(x)&=x^{2}+1\,={(x-i)(x+i)}\end{aligned}}

முதல் மூன்று பல்லுறுப்புக்கோவைகளும் முழு எண்களில் குறைக்கக்கூடியவை; கடைசி இரு பல்லுறுப்புக்கோவைகளும் முழுஎண்களில் குறைக்கவியலாதவை; நான்காவது முழுஎண்கள் மீதமையாத பல்லுறுப்புக்கோவை.
முதல் இரண்டும், நான்காவதும் விகிதமுறு எண்களைப் பொறுத்து குறைக்கவியல்பவை; பிற மூன்றும் விகிதமுறு எண்களைப் பொறுத்துக் குறைக்கவியலாதவை. (விகிதமுறு எண்களின் மீதான பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு, 3 ஆனது வளைய அலகாக இருப்பதால், அது ஒரு காரணியாகாது).
முதல் ஐந்து பல்லுறுப்புக்கோவைகளும் மெய்யெண்களைப் பொறுத்து குறைக்கவியல்பவை; ஆனால் ஆறாவதான $p_{6}(x)$ குறைக்கவியலாதப் பல்லுற்றுப்புக்கோவை.
ஆறு பல்லுறுப்புக்கோவைகளுமே சிக்கலெண்களைப் பொறுத்து குறைக்கக் கூடியவை.

வரையறை

F ஒரு களம் எனக் கொள்ள, மாறிலிஉறுப்பு மட்டுமே கொண்டிராத பல்லுறுப்புக்கோவை ஒன்று, 'F இன் மீது குறைக்கவியலாப் பல்லுறுப்புக்கோவையாக இருக்கவேண்டுமெனில்:

அப்பல்லுறுப்புக்கோவையின் கெழுக்கள் F இல் இருப்பதோடு, F இல் கெழுக்களைக் கொண்ட மாறிலியுறுப்புகளை மட்டுமே கொண்டிராத இரு பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் பெருக்கற்பலனாகக் காரணிப்படுத்தமுடியாததாகவும் இருக்கவேண்டும்..

முழுஎண் கெழுக்களைக் கொண்ட அல்லது மேலும் பொதுவாக R என்ற தனித்த காரணிப்படுத்தல் ஆட்களத்தில் கெழுக்களைக் கொண்ட பல்லுறுப்புக்கோவையானது,

நேர்மாற்றத்தகாததாக அல்லது பூச்சியமற்றதாக அல்லது R இல் கெழுக்களையுடைய நேர்மாற்றத்தகாத இரு பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் பெருக்கற்பலனாக இல்லாமலிருந்தால், "குறைக்கவியலாப் பல்லுறுப்புக்கோவை" அல்லது R இன் மீது குறைக்கவியலாப் பல்லுறுப்புக்கோவை எனப்படும்.

சிக்கலெண்களின் மீது

சிக்கலெண்களின் மீது, ஒருமாறியிலமைந்த பல்லுறுப்புக்கோவையின் படி '1' ஆக 'இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே' அது குறைக்கவியலாப் பல்லுறுப்புக்கோவையாக இருக்கும். இக்கூற்றுதான் சிக்கலெண்களுக்கான இயற்கணித அடிப்படைத் தேற்றமாகும்.

a\left(x-z_{1}\right)\cdots \left(x-z_{n}\right)

$n$ = படி; $a$ = தலையுறுப்பின் கெழு; $z_{1},\dots ,z_{n}$ = பல்லுறுப்புக்கோவையின் மூலங்கள்.

சிக்கலெண்களின் மீதான குறைக்கவியலாப் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் அனைத்து படிகளிலும் உள்ளன.

எடுத்துக்காட்டு:

x^{n}+y^{n}-1,

என்ற பல்லுறுப்புக்கோவையானது n இன் அனைத்து நேர்ம முழுஎண்மதிப்புகளுக்கும் சிக்கலெண்களின் மீதான குறைக்கவியலாப் பல்லுறுப்புக்கோவையாகும்.

மெய்யெண்களின் மீது

மெய்யெண்கள் களத்தின் மீதான குறைக்கவியலாப் பல்லுறுப்புக்கோவையின் படி '1' அல்லது '2' ஆக இருக்கும். இருபடி பல்லுறுப்புக்கோவை $ax^{2}+bx+c$ ஆனது மெய்யெண்களின் மீது குறைக்கவியலாததாக இருந்தால், அதன் தன்மைகாட்டி $b^{2}-4ac.$ எதிர்மமாக இருக்கும். இதிலிருந்து ஒருமாறியிலமைந்த மற்றும் மாறிலியுறுப்புமட்டுமே கொண்டிராத ஒவ்வொரு பல்லுறுப்புக்கோவையையும் இருபடி வரையிலான பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் பெருக்கற்பலனாகத்தான் எழுதமுடியும் என்பதை அறியலாம். எடுத்துக்காட்டாக:

x^{4}+1=\left(x^{2}+{\sqrt {2}}x+1\right)\left(x^{2}-{\sqrt {2}}x+1\right),

இதனை மேலும் காரணிப்படுத்த முடியாது. ஏனெனில் இதன் தன்மைகாட்டி:

\left(\pm {\sqrt {2}}\right)^{2}-4=-2<0.

குறிப்புகள்

↑ Gallian 2012, ப. 311
↑ Mac Lane & Birkhoff 1999 do not explicitly define "reducible", but they use it in several places. For example: "For the present, we note only that any reducible quadratic or cubic polynomial must have a linear factor." (p. 268).

மேற்கோள்கள்

Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556. This classical book covers most of the content of this article
Gallian, Joseph (2012), Contemporary Abstract Algebra (8th ed.), Cengage Learning, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-1285402734
Lidl, Rudolf; Niederreiter, Harald (1997), Finite fields (2nd ed.), கேம்பிறிட்ஜ் பல்கலைக்கழகப் பதிப்பகம், பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-0-521-39231-0, pp. 91.
Mac Lane, Saunders; Birkhoff, Garrett (1999), Algebra (3rd ed.), American Mathematical Society, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 9780821816462
Menezes, Alfred J.; Van Oorschot, Paul C.; Vanstone, Scott A. (1997), Handbook of applied cryptography, CRC Press, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-0-8493-8523-0, pp. 154.

வெளியிணைப்புகள்

Weisstein, Eric W., "Irreducible Polynomial", MathWorld.
irreducible polynomial at PlanetMath.
Information on Primitive and Irreducible Polynomials, The (Combinatorial) Object Server.

[1] Gallian 2012, ப. 311

[2] Mac Lane & Birkhoff 1999 do not explicitly define "reducible", but they use it in several places. For example: "For the present, we note only that any reducible quadratic or cubic polynomial must have a linear factor." (p. 268).

[1]

[2]