பகாச் சீர்மம்

இயற்கணிதத்தில் பகாச் சீர்மம் (prime ideal) என்பது ஒரு சிறப்பு வகைச் சீர்மமாகும். இவை, ஒரு முழு எண் வளையத்திலுள்ள ஒரு பகா எண்ணுக்குரிய பண்புகளைக் கொண்டமைகின்ற சீர்மங்களாகும்.

முழுஎண்கள் வளையச் சீர்மங்கள் சில:
*பகாச் சீர்மங்கள்: செவ்வூதா நிறம்;
*அரைப்பகாச் சீர்மங்கள்: செவ்வூதா மற்றும் பச்சை நிறம்;
*முதனிலை சீர்மங்கள்: செவ்வூதா மற்றும் ஊதா நிறம்.

ஒரு வளையத்தின் (R) ஏதாவது இரு உறுப்புகளின் பெருக்கற்பலனானது அவ்வளையத்தின் ஒரு தகு சீர்மம் P இன் உறுப்பாக இருந்து, அவ்விரு உறுப்புகளில் ஏதேனுமொன்று P இன் உறுப்பாகவும் அமைந்தால், அச்சீர்மம், பகாச் சீர்மம் என அழைக்கப்படுகிறது

எடுத்துக்காட்டு:

$R=\mathbb {Z} ,$ வளையத்தின் ஒரு சீர்மம்:

$I=3Z=\{\pm 3,\pm 6,\pm 9....\}$. இது ஒரு பகாச் சீர்மம் ஆகும். ஏனெனில்:

$2,3\in Z$ எனில், 2, 3 இன் பெருக்குதொகை 6 $\in 3Z$. மேலும் எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட இரு எண்களிலொன்றான $3\in 3Z$.

முழுஎண்கள் வளையத்தின் பகாச் சீர்மங்கள், ஏதாவதொரு பகாஎண்ணின் மடங்குளையும் சுழியச் சீர்மத்தையும் உறுப்புகளாகக் கொண்டிருக்கும், பகாச் சீர்மங்கள், முதனிலைச் சீர்மங்களாகவும், அரைப்பகாச் சீர்மங்களாகவும் அமையும்.

பரிமாற்று வளையங்களின் பகாச்சீர்மங்கள்

வரையறை

R என்ற பரிமாற்று வளையத்தின் ஒரு சீர்மம் P ஆனது பகாச்சீர்மமாக இருக்கவேண்டுமெனில் அது கீழுள்ள பண்புகளைக் கொண்டிருக்க வேண்டும்:

• a, b இரண்டும் R இன் இரு உறுப்புகள். மேலும் அவற்றின் பெருக்கற்பலன் ab ஆனது P இன் ஓருறுப்பு எனில், a அல்லது b, P இன் உறுப்பாக இருக்கும்.
• P ஆனது R க்குச் சமமானதாக இருக்காது; அதாவது, P ஆனது R இன் தகு உட்கணமாக இருக்கும்.

மேலுள்ள பகாச் சீர்மத்துக்கான பண்புகள், கீழ்வரும் பகாஎண்களுக்கானப் பண்பினைப் (யூக்ளிடிய முற்கோள்) பொதுமைப்படுத்தலாக அமைவதைக் காணலாம்:

p ஒரு பகாஎண். a, b ஆகிய இரு முழுவெண்களின் பெருக்கற்பலனான ab ஐ, p வகுக்கிறது எனில், p ஆனது a அல்லது b ஐ வகுக்கும்.

எனவே இதிலிருந்து பெறப்படும் முடிவு:

$\mathbb {Z} .$ இன் பகாச் சீர்மமாக $n\mathbb {Z}$ 'இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே', n (நேர்ம முழுவெண்) ஒரு பகா எண்ணாக இருக்கும்.

அதாவது:

$n\mathbb {Z}$ ஒரு பகாச்சீர்மம் $\Leftrightarrow$ $n,$ ஒரு பகா எண்.

எடுத்துக்காட்டுகள்

• $R=\mathbb {Z} ,$ வளையத்தில் இரட்டை எண்களின் உட்கணமானது ஒரு பகாச் சீர்மம்.
• $R$ என்ற முழு ஆட்களத்தின் பகா உறுப்பு $p\in R$ ஆனது, முதன்மை பகாச் சீர்மத்தைப் ($(p)$) பிறப்பிக்கும்.
• சிக்கலெண் கெழுக்களுடன் இரு மாறிகளிலமைந்த பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் வளையம் $\mathbb {C} [X,Y]$ என்பதை R குறிக்குமானால், Y² − X³ − X − 1 என்ற பல்லுறுப்புக்கோவையால் பிறப்பிக்கப்படும் சீர்மம், பகாச் சீர்மமாக இருக்கும்.
• $\mathbb {Z} [X]$ என்ற முழுஎண் கெழுக்களைக்கொண்ட பல்லுறுப்புக்கோவை வளையத்தில், 2 மற்றும் X ஆல் பிறப்பிக்கப்படும் சீர்மம், பகாச்சீர்மமாக இருக்கும். அப்பகாச்சீர்மத்திலுள்ள பல்லுறுப்புக்கோவைகள் எல்லாவற்றிலும் மாறிலிக் கெழு இரட்டையெண்ணாக இருக்கும்.

மேலதிக வாசிப்புக்கு

• Goodearl, K. R.; Warfield, R. B., Jr. (2004), An introduction to noncommutative Noetherian rings, London Mathematical Society Student Texts, vol. 61 (2 ed.), Cambridge: Cambridge University Press, pp. xxiv+344, doi:10.1017/CBO9780511841699, ISBN 0-521-54537-4, MR 2080008{{citation}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Jacobson, Nathan (1989), Basic algebra. II (2 ed.), New York: W. H. Freeman and Company, pp. xviii+686, ISBN 0-7167-1933-9, MR 1009787
• Kaplansky, Irving (1970), Commutative rings, Boston, Mass.: Allyn and Bacon Inc., pp. x+180, MR 0254021
• Lam, T. Y. (2001), A first course in noncommutative rings, Graduate Texts in Mathematics, vol. 131 (2nd ed.), New York: Springer-Verlag, pp. xx+385, doi:10.1007/978-1-4419-8616-0, ISBN 0-387-95183-0, MR 1838439, Zbl 0980.16001
• Lam, T. Y.; Reyes, Manuel L. (2008), "A prime ideal principle in commutative algebra", J. Algebra, 319 (7): 3006–3027, doi:10.1016/j.jalgebra.2007.07.016, ISSN 0021-8693, MR 2397420, Zbl 1168.13002
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Prime ideal", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104