பகா அடுக்கு

கணிதத்தில், பகா அடுக்கு (prime power) என்பது ஒரேயொரு பகா எண்ணின் நேர்ம முழுவெண் அடுக்காக மட்டுமே எழுதபடக்கூடியதொரு இயல் எண் ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்:

7 = 7 1

9 = 3 2

64 = 2 6

ஆகிய மூன்றும் பகா அடுக்குகள்.

மாறாக, $6 = 2 \times 3$ , $12 = 2 2 \times 3$ , $36 = 6 2 = 2 2 \times 3 2$ மூன்றும் பகா அடுக்குகள் அல்ல.

பகா அடுக்குகளின் தொடர்வரிசை::

2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 16, 17, 19, 23, 25, 27, 29, 31, 32, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 59, 61, 64, 67, 71, 73, 79, 81, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 121, 125, 127, 128, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 169, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 243, 251, …

(OEIS-இல் வரிசை A246655)

.

பகா அடுக்குகளை ஒரேயொரு பகா எண்ணால் மட்டும் வகுபடக்கூடிய நேர்ம முழுவெண் எனவும் கூறலாம்.

பண்புகள்

இயற்கணிதப் பண்புகள்

பகா அடுக்குகள், பகா எண்களின் அடுக்குகளாக உள்ளன. நான்கைவிட அதிகமான 2 இன் அடுக்குகளைத் தவிர்த்த பிற பகா அடுக்குகள் ஒவ்வொன்றுக்கும் ஒரு ஏது மூலம், மாடுலோ p உண்டு; எனவே மாடுலோ pⁿ முழுவெண்களின் பெருக்கல் குலமானது ஒரு சுழற்குலமாக இருக்கும். அதாவது, Z/pⁿZ வளையத்தின் வளையத்தின் அலகுகளின் குலம் ஒரு சுழற்குலம்.^[1]

ஒரு முடிவுறு களத்தின் உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை எப்பொழுதுமே ஒரு பகா அடுக்காகத்தான் இருக்கும். மறுதலையாக, ஒவ்வொரு பகா அடுக்கும் ஒரு முடிவுறு களத்திலுள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கையாகவே இருக்கும்.^[2]

வகுபடுதன்மைப் பண்புகள்

ஒரு பகா அடுக்கின் டோஷண்ட் சார்பு (φ) மற்றும் வகுஎண் சார்புகள் (σ₀), (σ₁) கீழ்வரும் வாய்பாடுகளைக்கொண்டு கணக்கிடப்படுகின்றன:

\varphi (p^{n})=p^{n-1}\varphi (p)=p^{n-1}(p-1)=p^{n}-p^{n-1}=p^{n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right),

\sigma _{0}(p^{n})=\sum _{j=0}^{n}p^{0\cdot j}=\sum _{j=0}^{n}1=n+1,

\sigma _{1}(p^{n})=\sum _{j=0}^{n}p^{1\cdot j}=\sum _{j=0}^{n}p^{j}={\frac {p^{n+1}-1}{p-1}}.

அனைத்து பகா அடுக்குகளும் குறைவெண்களாகும். பகா அடுக்கு pⁿ ஆனது, ஒரு n-கிட்டத்தட்டப் பகாவெண். ஒரு பகா அடுக்கு pⁿ, இசைவான எண்சோடியொன்றின் உறுப்பாக இருக்குமா என்ற கேள்விக்கான விடை அறியப்படவில்லை. அவ்வாறு ஒரு பகா அடுக்கானது இசைவான எண்சோடியில் இடம்பெற்றால், அது (pⁿ) 10¹⁵⁰⁰ ஐ விடப் பெரிய எண்ணாகவும், n இன் மதிப்பு 1400 ஐ விடப் பெரியதானதாகவும் இருக்க வேண்டும்.

மேற்கோள்கள்

↑ Crandall, Richard; Pomerance, Carl B. (2005). Prime Numbers: A Computational Perspective (2nd ed.). Springer. p. 40. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 9780387289793.
↑ Koblitz, Neal (2012). A Course in Number Theory and Cryptography. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 114. Springer. p. 34. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 9781468403107.

மேலதிக வாசிப்புக்கு

Elementary Number Theory. Jones, Gareth A. and Jones, J. Mary. Springer-Verlag London Limited. 1998.

[1] Crandall, Richard; Pomerance, Carl B. (2005). Prime Numbers: A Computational Perspective (2nd ed.). Springer. p. 40. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 9780387289793.

[2] Koblitz, Neal (2012). A Course in Number Theory and Cryptography. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 114. Springer. p. 34. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 9781468403107.

[1]

[2]