பகுதிச் சார்பு

கணிதத்தில் X இலிருந்து Y க்கு வரையறுக்கப்படும் (f: X ↛ Y) பகுதிச் சார்பு (partial function) என்பது X இன் ஏதாவதொரு உட்கணம் X ′ எனில், f: X ′ → Y என அமையும் சார்பாகும். ஒரு பகுதிச் சார்பு, f: X → Y, அதன் ஆட்களம் X இன் ஒவ்வொரு உறுப்பையும் Y இன் ஒரு உறுப்போடு இணைப்பதில்லை; மாறாக X இன் ஏதாவதொரு உட்கணத்தின் ஒவ்வொரு உறுப்பையும் Y இன் ஒரு உறுப்போடு இணைக்கும் விதியாக உள்ளது. X ′ = X எனில் f ஒரு முழுச் சார்பு (total function) என அழைக்கப்படுகிறது. இம்முழுச் சார்பு ஒரு சார்புக்குச் சமானமானது. ஒரு சார்பின் ஆட்களம் எதுவெனத் தெளிவில்லாத நிலையில் பகுதிச் சார்பு பயன்படுகிறது.

பகுதிச் சார்பின் அமைவு:

x ∈ X எனில்:

f(x) = y ∈ Y
f(x) வரையறுக்கப்படவில்லை

இந்த இரண்டில் ஏதாவது ஒன்றாக இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டாக, முழு எண் கணத்தில் வரையறுக்கப்படும் வர்க்கமூலம் காணும் சார்பு:

g\colon \mathbb {Z} \to \mathbb {Z}

g(n)={\sqrt {n}}.

முழு வர்க்கங்களாக உள்ள முழுஎண்களுக்கு (i.e., 0, 1, 4, 9, 16, ...) மட்டுமே g(n) வரையறுக்கப்படுவதால் இது ஒரு பகுதிச் சார்பாகும்.

g(25) = 5;

g(26) வரையறுக்கப்படவில்லை.

அடிப்படைக் கருத்துகள்

தற்காலக் கணிதப் பயன்பாட்டில் பகுதிச் சார்பின் ஆட்களம் என்ற கருத்து இருவிதமாக உள்ளது. பெரும்பாலான கணிதவியலாளர்கள் f:X → Y எனில், f(x) வரையறுக்கப்படும் X இன் உறுப்புகளைக் கொண்ட உட்கணமான X ' ஐ, ”f இன் ஆட்களம்” என்கின்றனர். சிலர் X ஐ, ”f இன் ஆட்களம்” என்றும் X' ஐ ”வரையறையின் ஆட்களம்” (domain of definition) என்றும் அழைக்கின்றனர். இதேபோல பகுதிச் சார்பின் வீச்சு என்பதும் இணையாட்களம் அல்லது சார்பின் எதிருருக்களின் கணத்தைக் குறிக்கலாம்.

வெகுசில சமயங்களில் X ஐ ஆட்களமாகவும், Y ஐ இணையாட்களமாகவும் கொண்ட பகுதிச் சார்பானது f: X ⇸ Y என அம்புக்குறியில் ஒரு சிறு குத்துக்கோடிடப்பட்டு எழுதப்படுவதும் உண்டு.

பகுதிச் சார்பின் வரையறை ஆட்களத்தில் சார்பு உள்ளிடுகோப்பாக/ முழுக்கோப்பாக இருந்தால், அப்பகுதிச் சார்பும் உள்ளிடு கோப்பாக/முழுக்கோப்பாக இருக்கும். ஒரு பகுதிச் சார்பு உள்ளிடுகோப்பாகவும் முழுக்கோப்பாகவும் அமையலாம்.

ஒரு சார்பின் இணையாட்களத்துக்குப் பதில் அதன் எதிருருக்களின் கணத்திற்கு மட்டுப்படுத்தும் போது, அச்சார்பு கண்டிப்பாக முழுக்கோப்பாக இருக்கும் என்பதால், ”பகுதி இருவழிக்கோப்பு” என்பது உள்ளிடுகோப்பாக உள்ள பகுதிச் சார்பைக் குறிக்கும்.^[1]

உள்ளிடுகோப்பாக உள்ள பகுதிச் சார்பின் நேர்மாறும் உள்ளிடுகோப்பான பகுதிச் சார்பாகும். உள்ளிடு மற்றும் முழுக்கோப்பாக உள்ள பகுதிச் சார்பின் நேர்மாறு ஒரு உள்ளிடு பகுதிச் சார்பாக இருக்கும். உள்ளிடு கோப்பாகவுள்ள ஒரு முழுச் சார்பை உள்ளிடு பகுதிச் சார்பாக நேர்மாற்றலாம்.

உருமாற்றத்தை பகுதிச் சார்புகளாகப் பொதுமைப்படுத்தலாம்.

X கணத்தின் உட்கணங்கள் A , B

f: A → B எனில், சார்பு f ஒரு ”பகுதி உருமாற்றம்” ஆகும்.^[1]

முழுச் சார்பு

முழுச் சார்பு என்பது சார்பின் ஒத்த சொல்லாகும். முழுச் சார்பானது பகுதிச் சார்பின் சிறப்புவகை என்பதைக் காட்டுவதற்காக ”முழு” என்ற உரிச்சொல் பயன்படுத்தப்படுகிறது. பகுதிச் சார்புகள் அதிகம் காணப்படும் கணிதப் பகுதிகளில் அவற்றிலிருந்து வேறுபடுத்திக் காட்டுவதற்காக முழு என்ற அடைமொழி சேர்த்துக்கொள்ளப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டுகள்

இயல் மடக்கை

மெய்யெண்களை மெய்யெண்களோடு இணைக்கும் இயல் மடக்கைச் சார்பினை எடுத்துக்கொண்டால்:

ஒரு நேரிலா மெய்யெண்ணின் இயல்மடக்கை ஒரு மெய்யெண் அல்ல. அதாவது இயல்மடக்கைச் சார்பானது இணையாட்களத்தின் எந்தவொரு மெய்யெண்ணையும் ஆட்களத்தின் நேரிலா மெய்யெண்ணுடன் இணைப்பதில்லை. எனவே மெய்யெண் கணத்திலிருந்து மெய்யெண் கணத்திற்கு வரையறுக்கப்பட்டச் சார்பாக இயல்மடக்கைச் சார்பை எடுத்துக்கொண்டால் அது ஒரு முழுச் சார்பு அல்ல; அது ஒரு பகுதிச் சார்பாகவே இருக்கும். சார்பின் ஆட்களத்தை நேர் மெய்யெண்கணமாக கட்டுப்படுத்தினால் Iமட்டுமே இயல் மடக்கைச் சார்பு ஒரு முழுச் சார்பாக இருக்க முடியும்.

இயல் எண்களின் கழித்தல்

இயல் எண்களின் கழித்தல் ஒரு பகுதிச் சார்பு:

f:\mathbb {N} \times \mathbb {N} \to \mathbb {N}

f(x,y)=x-y.

x\geq y

எனும்போது மட்டுமே இச்சார்பு வரையறுக்கப்படுகிறது.

மேற்கோள்கள்

↑ ^1.0 ^1.1 Christopher Hollings (2014). Mathematics across the Iron Curtain: A History of the Algebraic Theory of Semigroups. American Mathematical Society. p. 251. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-1-4704-1493-1.

Martin Davis (1958), Computability and Unsolvability, McGraw–Hill Book Company, Inc, New York. Republished by Dover in 1982. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-486-61471-9.
Stephen Kleene (1952), Introduction to Meta-Mathematics, North-Holland Publishing Company, Amsterdam, Netherlands, 10th printing with corrections added on 7th printing (1974). பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-7204-2103-9.
Harold S. Stone (1972), Introduction to Computer Organization and Data Structures, McGraw–Hill Book Company, New York.

[Hollings2014-251-1] 1.0 ^1.1 Christopher Hollings (2014). Mathematics across the Iron Curtain: A History of the Algebraic Theory of Semigroups. American Mathematical Society. p. 251. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-1-4704-1493-1.

[1]