பெர்மாவின் பல்கோண எண் தேற்றம்
எண் கோட்பாட்டில் பெர்மாவின் பல்கோண எண் தேற்றம் (Fermat polygonal number theorem) என்பது ஒவ்வொரு நேர்ம முழுஎண்ணையும் பல்கோண எண்களின் கூட்டுத்தொகையாக எழுதக்கூடிய விதங்களைப்பற்றிக் கூறுகிறது. இத்தேற்றத்தின்படி, ஒவ்வொரு நேர்ம முழுஎண்ணையும் அதிகபட்சமாக n, n-கோண எண்களின் கூட்டுத்தைகையாக எழுதமுடியும். அதாவது ஒவ்வொரு நேர்ம முழுஎண்ணையும் மூன்று அல்லது அதற்கும் குறைந்த முக்கோண எண்களின் கூட்டுத்தொகையாக எழுதலாம்; நான்கு அல்லது அதற்கும் குறைந்த வர்க்க எண்களின் கூட்டுத்தொகையாக எழுதலாம்; ஐந்து அல்லது அதற்கும் குறைந்த ஐங்கோண எண்களின் கூட்டுத்தொகையாக எழுதாலாம்; மேலும் ஐந்துக்கு மேற்பட்ட பல்கோண எண்களுக்கும் இக்கூற்றை நீட்டிக்கலாம்.
எடுத்துக்காட்டுகள்
தொகுஎண் 17, பின்வரும் மூன்றுவிதங்களில் எழுதப்பட்டுள்ளது:
- 17 = 10 + 6 + 1 (முக்கோண எண்கள்)
- 17 = 16 + 1 (சதுர எண்கள்)
- 17 = 12 + 5 (ஐங்கோண எண்கள்)
வரலாறு
தொகு
- 1638 இல், தேற்றத்தின் முடிவை அறிவித்தக் கணிதவியலாளர் பியேர் டி பெர்மாவின் பெயரால் இத்தேற்றம் அழைக்கப்படுகிறது. [1]
- கணிதவியலாளர் லாக்ராஞ்சி, இதனை சதுர எண்களுக்கு 1770 இல் நிறுவினார். அவரது தேற்றத்தின்படி, ஒவ்வொரு நேர்ம எண்ணையும் நான்கு வர்க்கங்களின் கூட்டுத்தொகையாக எழுதலாம்.
- எகா: 7 = 4 + 1 + 1 + 1.[1]
- கணிதவியலாளர் காஸ் இக்கூற்றை முக்கோண எண்களுக்கு 1796 இல் நிறுவினார். இதனை அவரது நாட்குறிப்பில் கீழ்க்காணும் வரியில் எழுதியுள்ளார்:
- மேலும் இதற்கான நிறுவலை தனது நூலிலும் (Disquisitiones Arithmeticae) வெளியிட்டார். இக்காரணத்தினால் சிலசமயங்களில்,காசின் இந்த முடிவானது "யுரேகா தேற்றம்" என அறியப்படுகிறது.[3]
- 1813 இல் கணிதவியலாளர் அகுஸ்டின்-லூயி கோசியால்தான் இத்தேற்றம் முழுவதுமாக நிறுவப்பட்டது.[1]
- நாதன்சன் என்பவரின் 1987 ஆம் ஆண்டின் நிறுவல் காசியின் கீழ்க்காணும் துணைத்தேற்றத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டமைந்தது:
- b2 < 4a மற்றும் 3a < b2 + 2b + 4 என்றமையும் a, b என்ற ஒற்றை முழுவெண்களுக்கு கீழ்க்காணுமாறு எதிர்மமில்லா முழுவெண்களைக் காண இயலும்:
- a = s2 + t2 + u2 + v2 and b = s + t + u + v.
- b2 < 4a மற்றும் 3a < b2 + 2b + 4 என்றமையும் a, b என்ற ஒற்றை முழுவெண்களுக்கு கீழ்க்காணுமாறு எதிர்மமில்லா முழுவெண்களைக் காண இயலும்:
குறிப்புகள்
தொகு- ↑ 1.0 1.1 1.2 (Heath 1910).
- ↑ Bell, Eric Temple (1956), "Gauss, the Prince of Mathematicians", in Newman, James R. (ed.), The World of Mathematics, vol. I, Simon & Schuster, pp. 295–339. Dover reprint, 2000, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-486-41150-8.
- ↑ Ono, Ken; Robins, Sinai; Wahl, Patrick T. (1995), "On the representation of integers as sums of triangular numbers", Aequationes Mathematicae, 50 (1–2): 73–94, எண்ணிம ஆவணச் சுட்டி:10.1007/BF01831114, MR 1336863, S2CID 122203472.
மேற்கோள்கள்
தொகு- Weisstein, Eric W., "Fermat's Polygonal Number Theorem", MathWorld.
- Heath, Sir Thomas Little (1910), Diophantus of Alexandria; a study in the history of Greek algebra, Cambridge University Press, p. 188.
- Nathanson, Melvyn B. (1987), "A short proof of Cauchy's polygonal number theorem", Proceedings of the American Mathematical Society, 99 (1): 22–24, எண்ணிம ஆவணச் சுட்டி:10.2307/2046263, JSTOR 2046263, MR 0866422.
- Nathanson, Melvyn B. (1996), Additive Number Theory The Classical Bases, Berlin: Springer, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-0-387-94656-6. Has proofs of Lagrange's theorem and the polygonal number theorem.