பல்கோண எண்

கணிதத்தில், ஒரு பல்கோண எண் (Polygonal number) என்பது, ஒழுங்கான பல்கோண வடிவில் ஒழுங்குபடுத்தக்கூடிய ஒரு எண்ணாகும். பண்டைய கணிதவியலாளர்கள், எண்கள் கற்கள், விதைகள் போன்றவற்றால் குறிக்கப்படும்போது, அவற்றைக் குறிக்கப்பட்ட விதங்களில் ஒழுங்குபடுத்த முடியும் எனக் கண்டறிந்தனர். எடுத்துக்காட்டாக எண் 10 ஐ, ஒரு முக்கோணமாக ஒழுங்குபடுத்தமுடியும் (முக்கோண எண் பார்க்கவும்):

ஆனால் 10 ஐ ஒரு சதுரமாக அடுக்கமுடியாது. எண் 9 ஐ அவ்வாறு அடுக்கமுடியும். (சதுர எண் பார்க்கவும்):

36 போன்ற சில எண்களைச் சதுரமாகவும், முக்கோணமாகவும் அடுக்கமுடியும். ( முக்கோண சதுர எண்):

ஒரு பல்கோணத்தின் இரு அடுத்துள்ள பக்கங்கள் ஒவ்வொன்றிலும் ஒரு புள்ளியை அதிகப்படுத்தி அப்புள்ளிகளுக்கிடையே மற்ற தேவையான பக்கங்களைச் சேர்த்தால் இதற்கு அடுத்த அளவுப் பல்கோணம் கிடைக்கும். கீழேயுள்ள படங்களில் புதிதாகச் சேர்க்கப்பட்ட புள்ளிகள் சிவப்பு நிறத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளன.

பல்கோண எண்களின் வகைகள் சில

முக்கோண எண்கள்

சதுர எண்கள்

ஐங்கோணி, அறுகோணி போன்ற கூடிய பக்கங்களைக்கொண்ட பல்கோணிகளும் புள்ளிகளின் அடுக்காகக் காட்டப்படக்கூடியவை. (convention படி, எத்தனை பக்கங்கொண்ட பல்கோணிக்கும் 1 முதலாவது பல்கோண எண்ணாகும்).

ஐங்கோண எண்கள்:

அறுகோண எண்கள்

36: (இது முக்கோண எண்ணும், ஒரு சதுர எண்ணுமாகும்.)

வாய்ப்பாடு

s -பலகோணத்தின் பக்கங்களின் எண்ணிக்கை எனில்,

n -வது s-கோண எண், P(s,n) காணும் வாய்ப்பாடு:

$P(s,n)={({\frac {s}{2}}-1)n^{2}-({\frac {s}{2}}-2)n}\,.$

n-வது s- கோண எண்ணுக்கும் முக்கோண எண் T_n -க்குமுள்ள தொடர்பு:

$P(s,n)=(s-2)T_{n-1}+n=(s-3)T_{n-1}+T_{n}\,.$

எனவே:

$P(s,n+1)-P(s,n)=(s-2)n+1\,,$

$P(s+1,n)-P(s,n)=T_{n-1}={\frac {n(n-1)}{2}}\,.$

தரப்பட்ட s-கோண எண் P(s,n) = x எனில்

$n={\frac {{\sqrt {(8s-16)x+(s-4)^{2}}}+s-4}{2s-4}}.$

அட்டவணை

பெயர்	Formula	n=1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
முக்கோணம்	½n(1n + 1)	1	3	6	10	15	21	28	36	45	55	66	78	91
சதுரம்	½n(2n - 0)	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	121	144	169
ஐங்கோணம்	½n(3n - 1)	1	5	12	22	35	51	70	92	117	145	176	210	247
அறுகோணம்	½n(4n - 2)	1	6	15	28	45	66	91	120	153	190	231	276	325
எழுகோணம்	½n(5n - 3)	1	7	18	34	55	81	112	148	189	235	286	342	403
எண்கோணம்	½n(6n - 4)	1	8	21	40	65	96	133	176	225	280	341	408	481
நவகோணம்	½n(7n - 5)	1	9	24	46	75	111	154	204	261	325	396	474	559
தசகோணம்	½n(8n - 6)	1	10	27	52	85	126	175	232	297	370	451	540	637
11-கோணம்	½n(9n - 7)	1	11	30	58	95	141	196	260	333	415	506	606	715
12-கோணம்	½n(10n - 8)	1	12	33	64	105	156	217	288	369	460	561	672	793
13-கோணம்	½n(11n - 9)	1	13	36	70	115	171	238	316	405	505	616	738	871
14-கோணம்	½n(12n - 10)	1	14	39	76	125	186	259	344	441	550	671	804	949
15-கோணம்	½n(13n - 11)	1	15	42	82	135	201	280	372	477	595	726	870	1027
16-கோணம்	½n(14n - 12)	1	16	45	88	145	216	301	400	513	640	781	936	1105
17-கோணம்	½n(15n - 13)	1	17	48	94	155	231	322	428	549	685	836	1002	1183
18-கோணம்	½n(16n - 14)	1	18	51	100	165	246	343	456	585	730	891	1068	1261
19-கோணம்	½n(17n - 15)	1	19	54	106	175	261	364	484	621	775	946	1134	1339
20-கோணம்	½n(18n - 16)	1	20	57	112	185	276	385	512	657	820	1001	1200	1417
21-கோணம்	½n(19n - 17)	1	21	60	118	195	291	406	540	693	865	1056	1266	1495
22-கோணம்	½n(20n - 18)	1	22	63	124	205	306	427	568	729	910	1111	1332	1573
23-கோணம்	½n(21n - 19)	1	23	66	130	215	321	448	596	765	955	1166	1398	1651
24-கோணம்	½n(22n - 20)	1	24	69	136	225	336	469	624	801	1000	1221	1464	1729
25-கோணம்	½n(23n - 21)	1	25	72	142	235	351	490	652	837	1045	1276	1530	1807
26-கோணம்	½n(24n - 22)	1	26	75	148	245	366	511	680	873	1090	1331	1596	1885
27-கோணம்	½n(25n - 23)	1	27	78	154	255	381	532	708	909	1135	1386	1662	1963
28-கோணம்	½n(26n - 24)	1	28	81	160	265	396	553	736	945	1180	1441	1728	2041
29-கோணம்	½n(27n - 25)	1	29	84	166	275	411	574	764	981	1225	1496	1794	2119
30-கோணம்	½n(28n - 26)	1	30	87	172	285	426	595	792	1017	1270	1551	1860	2197

ஆதாரங்கள்

• The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, David Wells (Penguin Books, 1997) [[[பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்]] 0140261494].
• MathWorldல் பல்கோண எண்கள்