மெர்சென் அனுமானங்கள்

கணிதத்தில், மெர்சென் அனுமானங்கள் (Mersenne conjectures) என்பவை இரண்டின் வலு கழித்தல் '1' வடிவிலமைந்த சிறப்புப் பகாஎண்களான மெர்சென் பகாஎண்களின் பண்புகளைப் பற்றி அனுமானங்களாகும்.

மூல மெர்சென் அனுமானம்

மூல மெர்சென் அனுமானமானது,

"n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257 மதிப்புகளுக்கு,

2^{n}-1

வடிவிலமையும் எண்கள் பகா எண்களாகவும், n இன் பிற n ≤ 257 ஆகவுள்ள நேர்ம முழு எண் மதிப்புகளுக்கு பகு எண்களாகவும் இருக்கும்" என்பதாகும்.

கணிதவியலாளர் மாரின் மெர்சென், அவரது நூலில் (Cogitata Physico-Mathematica (1644) இக்கூற்றினைப் பதிவிட்டுள்ளார். இந்த அனுமானம் "மெர்சென் அனுமானம்" என்றழைக்கப்படுகிறது. அவரது காலத்திலேயே இப்பட்டியலிலுள்ள முதல் ஏழு எண்கள் ( $2^{n}-1$ for n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19) பகா எண்களாக இருப்பது சோதனை முயற்சிகளின் மூலம் நிறுவப்பட்டுவிட்டதால்,^[1] கடைசி நான்கு எண்கள் மட்டுமே மெர்செனின் கூற்றாக இருந்தது. கடைசி எண்களின் அளவு மிகப்பெரியதாக இருந்ததால் 17 ஆம் நூற்றாண்டில், மெர்சனாலோ அல்லது அவரது சமகாலத்தியராலோ அவற்றை உண்மையாவென சோதித்தறிய இயலவில்லை. மூன்று நூற்றாண்டுகளுக்குப் பின்னர் இவ்வனுமானத்தில் ஐந்து தவறுகள் இருப்பது கண்டறியப்பட்டது. அதாவது, n = 67, 257 மதிப்புகளுக்கான எண்கள் பகுஎண்களாகவும், n = 61, 89, 107 மதிப்புகளுக்கு கிடைக்கக்கூடிய மூன்று பகாஎண்களும் பட்டியலில் இடம்பெறவில்லை என்பது அறியப்பட்டன.

சரியான பட்டியல், n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127; n ≤ 257 மதிப்புகளுக்குக் கிடைக்கிறது

இந்த மூல மெர்சென் அனுமானத்தில் இருந்த தவற்றின் விளைவாகப் "புதிய மெர்சென் அனுமானம்" தோன்றியது

புதிய மெர்சென் அனுமானம்

"புதிய மெர்சென் அனுமானம்" அல்லது "பாட்மன் செல்ஃபிரிட்ஜ் மற்றும் வாக்சுடாஃப் அனுமான"த்தின் கூற்று:

p என்ற ஏதேனுமொரு ஒற்றை, இயலெண்ணுக்கு கீழ்வரும் மூன்று முடிவுகளில் எவையேனும் இரண்டு உண்மையாக இருக்கும்பட்சத்தில், மூன்றாவதும் உண்மையாக இருக்கும்:

p = 2^k ± 1 அல்லது p = 4^k ± 3 (k ஒரு இயல் எண்). (OEIS-இல் வரிசை A122834)

2^p − 1 ஒரு பகா எண்i ( மெர்சென் பகாத்தனி). (OEIS-இல் வரிசை A000043)

(2^p + 1)/3 ஒரு பகா எண் (வாக்சுடாஃப் பகாஎண்). (OEIS-இல் வரிசை A000978)

p , ஒரு ஒற்றைப் பகுஎண் எனில், 2^p − 1, (2^p + 1)/3 இரண்டும் பகுஎண்கள். எனவே p இன் பகாஎண் மதிப்புகளுக்கு மட்டும் அனுமானத்தின் உண்மையைச் சரிபார்த்தல் போதும்.

தற்போதுவரை, மேலுள்ள மூன்று நிபந்தனைகளையும் நிறைவு செய்யக்கூடிய 9 எண்கள் கண்டுபிடிக்கப்பட்டுள்ளன:

3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 127 (OEIS-இல் வரிசை A107360)

இந்த மூன்று நிபந்தனைகளையும் ஒருங்கே நிறைவு செய்யக்கூடிய, 127 ஐ விடப் பெரிய எண்கள் எதுவும் இல்லையெனவும், இரு நிபந்தனைகளையாவது நிறைவு செய்ய்யக்கூடிய 127 ஐ விட பெரிய எண்கள் எதுவும் இல்லையெனவும் கண்டறிந்தார். இவரது இக்கூற்றால் புதிய மெர்சென் அனுமானத்தின் உண்மைத்தன்மை எளிமையானதாகிறது.

2024 வரை, 2^57885161 − 1 வரையிலான மெர்சென் பகாஎண்கள் கண்டுபிடிக்கப்பட்டுள்ளன. ஆனால் முன்னர் குறிப்பிட்டவை தவிர, இவற்றுள் வேறு எந்தவொரு எண்ணும் மூன்றாவது நிபந்தனையை நிறைவு செய்வதாக இல்லை.^[2]^[3]

குறைந்தபட்சம் ஒரு முடிவை நிறைவு செய்யும் பகாஎண்கள்:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 31, 43, 61, 67, 79, 89, 101, 107, 127, 167, 191, 199, 257, 313, 347, 521, 607, 701, 1021, 1279, 1709, 2203, 2281, 2617, 3217, 3539, 4093, 4099, 4253, 4423, 5807, 8191, 9689, 9941, ... (OEIS-இல் வரிசை A120334)

மூல மெர்சென் அனுமானத்தை நிறைவு செய்யாத எண்கள் 67, 257 இரண்டும் புதிய அனுமானத்தின் முதல் நிபந்தனையை நிறைவு செய்கின்றன:

67 = 2⁶ + 3,

257 = 2⁸ + 1

ஆனால் மெர்சென் கண்டுபிடிக்காமல் விட்ட 89, 107 ஆகிய இரு எண்களும் இரண்டாவது நிபந்தனையை நிறைவு செய்கின்றன; மற்ற இரு நிபந்தனைகளையும் நிறைவு செய்வதில்லை.

p = 2^k ± 1 அல்லது p = 4^k ± 3 என 'இருந்தால்', 2^p − 1 என்பது ஒரு பகா எண்ணாக இருக்குமென மெர்சென் கருதியிருக்கலாம்; ஆனால்  p = 2^k ± 1 அல்லது p = 4^k ± 3 என "இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே", 2^p − 1 என்பது ஒரு பகா எண்ணாக இருக்குமெனக் கருதியிருந்தால், அவர் 61 ஐயும்  பட்டியலில் சேர்த்திருக்கக்கூடும்.

முதல் 100 பகாஎண்களின் புதிய மெர்சென் அனுமான நிலை
2^[4]	3	5	7	11	13	17	19	23	29
31	37	41	43	47	53	59	61	67	71
73	79	83	89	97	101	103	107	109	113
127	131	137	139	149	151	157	163	167	173
179	181	191	193	197	199	211	223	227	229
233	239	241	251	257	263	269	271	277	281
283	293	307	311	313	317	331	337	347	349
353	359	367	373	379	383	389	397	401	409
419	421	431	433	439	443	449	457	461	463
467	479	487	491	499	503	509	521	523	541

சிவப்பு: p இன் வடிவம் 2ⁿ±1 or 4ⁿ±3	சயான் நிறப்பின்னணி: 2^p−1 - பகாஎண்	சாய்ந்த: (2^p+1)/3 ஒரு பகாஎண்	தடித்த: p-குறைந்தபட்சம் ஒரு நிபந்தனையை நிறைவுசெய்கிறது

குறைந்தபட்சம் ஒரு நிபந்தனையை நிறைவுசெய்யும் அறியப்பட்ட பகாஎண்களை முறைப்படுத்திப் பட்டியலிடுவதன் மூலமாக, 30402457 க்குச் சமமான அல்லது சிறிய அனைத்து முழுஎண்களுக்கும் புதிய மெர்சென் அனுமானம் உண்மை என்பதை, பிரைம் பெய்ஜசு என்ற இணையதளம் காட்டியுள்ளது.^[2]

இலென்சுட்ரா-பொமெரான்சு-வாக்சுடாஃப்

டச்சு கணிதவியலாளர் இலென்சுட்ரா, அமெரிக்க எண் கோட்பாட்டாளர் பொமெரான்சு, அமெரிக்கக் கணிதவியலாளர் வாக்சுடாஃப் ஆகிய மூவரும், "முடிவிலா எண்ணிக்கையிலான மெர்சென் பகாஎண்கள் உள்ளன" என்ற அனுமானத்தை வெளியிட்டனர். அவர்களின் கூற்றின்படி, x ஐ விடச் சிறிய மெர்சென் பகாஎண்களின் எண்ணிக்கையானது தோராயமாகக் கீழ்வருமாறு இருக்கும்:

e^{\gamma }\cdot \log _{2}\log _{2}(x),

^[5]

இதிலுள்ள 'காமா' ( $\gamma$ ) என்பது ஆய்லரின் மாறிலி ஆகும்.

இதற்குச் சமானமான கூற்று:

y ஐவிடச் சிறிய p அடுக்குள்ள மெர்சென் பகாஎண்களின் எண்ணிக்கை கீழ்வரும் மதிப்பை நெருங்கும்:

e^{\gamma }\cdot \log _{2}(y).

^[5]

முதல் 40 மெர்சென் பகாஎண்களுக்கு இவ்வனுமானம் ஓரளவுக்குப் பொருந்தியது. ஆனால், 2^20,000,000 மற்றும் 2^85,000,000 இரண்டுக்குமிடையில், குறைந்தது 12 மெர்சென் பகாஎண்கள் உள்ளன;^[6] ஆனால் இவ்வனுமானத்தின்படியான எண்ணிக்கை கிட்டத்தட்ட 3.7 தான்.

மேற்கோள்கள்

↑ See the sources given for the individual primes in மெர்சென் பகா எண்கள்-செவ்விய எண்கள் பட்டியல்.
↑ ^2.0 ^2.1 "The New Mersenne Prime Conjecture". t5k.org.
↑ Wanless, James. "Mersenneplustwo Factorizations".
↑ 2=2⁰ + 1, மூன்றில் இரண்டு நிபந்தனைகளை நிறைவு செய்கிறது; இரட்டையெண்ணாக இருப்பதால் அனுமானத்திற்குப் பொருந்தாது
↑ ^5.0 ^5.1 Heuristics: Deriving the Wagstaff Mersenne Conjecture. The Prime Pages. Retrieved on 2014-05-11.
↑ Michael Le Page (Aug 10, 2019). "Inside the race to find the first billion-digit prime number". New Scientist. https://www.newscientist.com/article/mg24332420-800-inside-the-race-to-find-the-first-billion-digit-prime-number/.

வெளியிணைப்புகள்

The Prime Glossary. New Mersenne prime conjecture.

[1] See the sources given for the individual primes in மெர்சென் பகா எண்கள்-செவ்விய எண்கள் பட்டியல்.

[auto-2] 2.0 ^2.1 "The New Mersenne Prime Conjecture". t5k.org.

[3] Wanless, James. "Mersenneplustwo Factorizations".

[4] 2=2⁰ + 1, மூன்றில் இரண்டு நிபந்தனைகளை நிறைவு செய்கிறது; இரட்டையெண்ணாக இருப்பதால் அனுமானத்திற்குப் பொருந்தாது

[heur-5] 5.0 ^5.1 Heuristics: Deriving the Wagstaff Mersenne Conjecture. The Prime Pages. Retrieved on 2014-05-11.

[6] Michael Le Page (Aug 10, 2019). "Inside the race to find the first billion-digit prime number". New Scientist. https://www.newscientist.com/article/mg24332420-800-inside-the-race-to-find-the-first-billion-digit-prime-number/.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]