இரேனால்ட்சு எண்

பாய்ம இயக்கவியலில், இரேனால்ட்சு எண் (Reynolds number; $Re$ ) என்பது ஒரு அளவற்ற எண் ஆகும், இது வெவ்வேறு சூழ்நிலைகளில் சடத்துவ விசைகளுக்கும் பிசுக்குமை விசைகளுக்கும் உள்ள விகிதத்தை அளவிடுவதன் மூலம் பாய்ம ஓட்ட வடிவங்களைக் கணிக்க உதவுகிறது.^[2] குறைந்த இரேனால்ட்சு எண்களில், பாய்ம ஓட்டப் போக்கு வரிச்சீர் (தாள் போன்ற) ஓட்டத்தால் ஆதிக்கம் செலுத்துகின்றன, அதே சமயம் அதிக இரேனால்ட்சு எண்களில், ஓட்டங்கள் கொந்தளிப்பாக இருக்கும். கொந்தளிப்பு பாய்மத்தின் வேகம், திசை ஆகியவற்றில் உள்ள வேறுபாடுகளால் விளைகிறது, இது சில சமயங்களில் ஓட்டத்தின் ஒட்டுமொத்த திசையில் (சுழல் நீரோட்டங்கள்) குறுக்கிடலாம் அல்லது நகரும். இந்த சுழல் நீரோட்டங்கள் பாய்ச்சலைக் குறைக்கத் தொடங்குகின்றன, இந்தச் செயல்பாட்டின் மூலம் ஆற்றலைப் பயன்படுத்துகின்றன, இது திரவங்களுக்கு குழிவுறுவதற்கான வாய்ப்புகளை அதிகரிக்கிறது.

ரேய்னால்ட்சு எண் அதிகரிக்கும் போது நீர்க் குழாயில் இருந்து வரிச்சீரில் (இடது) இருந்து கொந்தளிப்பான (வலது) மாறுதல் ஏற்படுகிறது.

ஒரு உருளையைச் சுற்றி ஒரு சுழல் தெரு. இது உருளைகள், கோளங்களைச் சுற்றி நிகழலாம், எந்தவொரு பாய்மத்திற்கும், சிலிண்டர் அளவு மற்றும் பாய்ம வேகம் ஆகியவற்றிற்கு கிட்டத்தட்ட 40 இற்கும் 1000 இற்கும் இடையில் இரேனால்ட்சு எண்ணைக் கொண்டிருக்கும்.^[1]

சியார்ச் இசுட்டோக்சு ரெனால்ட்சு எண்களை அறிமுகப்படுத்தினார்.

ஆஸ்போர்ன் ரெனால்ட்ஸ் இந்த கருத்தைப் பிரபலப்படுத்தினார்.

ரெனால்ட்ஸ் எண் ஒரு குழாயில் பாய்ம ஓட்டம் முதல் வானூர்தி இறக்கையின் மீது காற்று செல்லும் வரையான பரந்த பயன்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளது. இது வரிச்சீர் வரிச்சீரில் இருந்து கொந்தளிப்பான ஓட்டத்திற்கு மாறுவதைக் கணிக்கப் பயன்படுகிறது. கொந்தளிப்பின் தொடக்கம் மற்றும் அளவிடுதல் விளைவுகளை கணக்கிடும் திறன் ஆகியவை உள்ளக அல்லது பரந்த காற்று அல்லது நீர் இயக்கம் மற்றும் அதனுடன் தொடர்புடைய வானிலை மற்றும் காலநிலை விளைவுகள் போன்ற பெரிய அளவில் பாய்ம நடத்தையைக் கணிக்க உதவுகிறது.

1851 ஆம் ஆண்டு சியார்ச் இசுட்டோக்சு என்பவரால் இந்தக் கருத்து அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது,^[3] ஆனால் 1883 ஆம் ஆண்டில் அதன் பயன்பாட்டைப் பிரபலப்படுத்திய ஆசுபோர்ன் இரேனால்ட்சு (1842-1912) என்பவரின் நினைவாக 1908-இல்^[4] ஆர்னல்ட் சோமர்ஃபெல்டு என்பவரால் இரேனால்ட்சு எண்ணுக்கு பெயரிடப்பட்டது.^[5]^[6]^[7]

வரையறை

இரேனால்ட்சு எண் என்பது ஒரு பாய்மத்தினுள் உள்ள நிலைம விசைகளுக்கும் பிசுபிசுப்பு விசைகளுக்கும் உள்ள விகிதமாகும். இது வெவ்வேறு பாய்ம வேகங்களின் காரணமாக உள் இயக்கத்திற்கு உட்பட்டது. இந்த விசைகள் தமது நடத்தையை மாற்றும் ஒரு பகுதி, குழாயின் உட்புறத்தில் உள்ள எல்லை மேற்பரப்பு போன்ற, இடைப்படலம் என அழைக்கப்படுகிறது. காற்றில் உள்ள சுடரில் இருந்து வெளிப்படும் சூடான வாயுக்கள் போன்ற குறைந்த வேகம் கொண்ட பாய்மத்தில் அதிவேக பாய்மத்தின் ஓட்டத்தை அறிமுகப்படுத்துவதன் மூலம் இதேபோன்ற விளைவு உருவாக்கப்படுகிறது. இந்த சார்பு இயக்கம் பாய்ம உராய்வை உருவாக்குகிறது, இது கொந்தளிப்பான ஓட்டத்தை வளர்ப்பதில் ஒரு காரணியாகும். இந்த விளைவை எதிர்ப்பது பாய்மத்தின் பிசுக்குமை ஆகும், இது கொந்தளிப்பைத் தடுக்கிறது. இரேனால்ட்சு எண், கொடுக்கப்பட்ட ஓட்ட நிலைமைகளுக்கு இந்த இரண்டு வகையான விசைகளின் ஒப்பீட்டு முக்கியத்துவத்தை அளவிடுகிறது, அத்துடன் இது ஒரு குறிப்பிட்ட சூழ்நிலையில் கொந்தளிப்பான ஓட்டம் எப்போது ஏற்படும் என்பதற்கான வழிகாட்டியுமாகும்.^[8]

கொந்தளிப்பான ஓட்டத்தின் தொடக்கத்தைக் கணிக்கும் இந்தத் திறன் குழாய் அமைப்புகள் அல்லது வானூர்தி இறக்கைகள் போன்ற உபகரணங்களுக்கான ஒரு முக்கியமான வடிவமைப்புக் கருவியாகும், ஆனால் இரேனால்ட்சு எண் பாய்ம இயக்கவியல் சிக்கல்களை அளவிடுவதிலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது. இரண்டு சூழ்நிலைகளுக்கும் இரேனால்ட்சு எண்களின் பயன்பாடு அளவிடுதல் காரணிகளை உருவாக்க அனுமதிக்கிறது.

வரிச்சீர், கொந்தளிப்பு ஓட்டம் ஆகியவற்றைப் பொறுத்தவரை:

வரிச்சீர் ஓட்டம் குறைந்த இரேனால்ட்சு எண்களில் ஏற்படுகிறது, இங்கு பிசுக்குமை விசைகள் ஆதிக்கம் செலுத்துகின்றன, அத்துடன் இது மென்மையான, நிலையான பாய்ம இயக்கத்தால் வகைப்படுத்தப்படுகிறது;
கொந்தளிப்பு ஓட்டம் அதிக இரேனால்ட்சு எண்களில் நிகழ்கிறது, இங்கு நிலைத்துவ அல்லது செயலற்ற விசைகள் ஆதிக்கம் செலுத்துகின்றன, இது குழப்பமான சுழல்கள், சுழிப்புகள், மற்றும் பிற ஓட்ட உறுதியற்ற தன்மைகளை உருவாக்க முனைகிறது.^[9]

இரேனால்ட்சு எண் பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:^[4]

\mathrm {Re} ={\frac {uL}{\nu }}={\frac {\rho uL}{\mu }}

^[10]

இங்கு:

$ρ$ – பாய்மத்தின் அடர்த்தி (அ.மு. அலகு: கிகி/மீ³)
$u$ – ஓட்ட வேகம் (மீ/செ)
$L$ – பான்மை நீளம் (மீ)
$μ$ – பாய்மத்தின் இயங்கியல் பிசுக்குமை (Pa·s அல்லது N·s/m² அல்லது kg/(m·s))
$ν$ – பாய்மத்தின் இயக்கப் பிசுக்குமை (m²/s).

குழாய்வழி பாய்மம்

குழாய் அல்லது தூம்பு ஒன்றில் பாய்மத்தின் ஓட்டத்திற்கு, இரேனால்ட்சு எண் பொதுவாக பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:^[11]

\mathrm {Re} ={\frac {uD_{\text{H}}}{\nu }}={\frac {\rho uD_{\text{H}}}{\mu }}={\frac {\rho QD_{\text{H}}}{\mu A}}={\frac {WD_{\text{H}}}{\mu A}},

இங்கு,

$D H$ - குழாயின் நீரியல் விட்டம் (குழாய் வட்டமாக இருந்தால் உள் விட்டம்) (மீ),
$Q$ - பரும ஓட்ட வேகம் (மீ³/செ),
$A$ - குழாயின் குறுக்கு-வெட்டுப் பரப்பு ( $A = πD 2 / 4$ ) (m²),
$u$ - பாய்மத்தின் சராசரி வேகம் (m/s),
$μ$ (mu) - பாய்மத்தின் பிசுக்குமை (Pa·s = N·s/m² = kg/(m·s)),
$ν$ (nu) - பிசுக்குமை ( $ν = μ / ρ$ ) (m²/s),
$ρ$ (rho) - பாய்மத்தின் அடர்த்தி (kg/m³),
$W$ - பாய்மத்தின் பொருண்மைப் பாய்வு விகிதம் (kg/s).

உயரம் மற்றும் அகலம் ஒப்பிடக்கூடிய சதுரங்கள், செவ்வக அல்லது வளையக் குழாய்கள் போன்ற வடிவங்களுக்கு, நீரியல் விட்டம், $D H$ , பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படும்:

D_{\text{H}}={\frac {4A}{P}},

இங்கு $A$ - குறுக்கு-வெட்டுப் பரப்பு, $P$ - நனைந்த சுற்றளவு.

வட்டக் குழாய்களுக்கு, நீரியல் விட்டம், உட்குழாயின் விட்டத்திற்கு சரியாக சமமாக இருக்கும்:

D_{\text{H}}=D.

அகலமான குழல் வழியான பாய்மம்

இரு பரந்த இணையான தட்டுகளின் பரப்புகளுக்கிடையே ஒரு திரவம் பாயும் பொழுது, (இங்கே இரு தட்டுக்களின் அகலமானது இரு தட்டுக்களுக்கும் நடுவே விளங்கும் இடைவெளியை விட மிகவும் அதிகமானதாகும்), அப்பொழுது சிறப்பியல்பு பரிமாணம் இரு தட்டுக்களின் இடைவெளி தூரத்தின் இரு மடங்காகும்.^[12]

திறந்த கால்வாய் வழியான பாய்மம்

திறந்த மேற்பரப்புடன் கொண்ட திரவத்தின் பாய்மத்திற்கு, நீரியல் ஆரம் என்பது வரையறுக்கவேண்டும். இதன் பெறுமதியானது கால்வாயின் குறுக்குவெட்டு வெட்டுப்பரப்பளவு அளவினை நனைத்த சுற்றளவால் வகுக்கும் பொழுது கிடைக்கும் எண் ஆகும். அரை வட்டம் கொண்ட கால்வாயில், இது ஆரத்தின் பாதியாகும். செவ்வகத்தில் அமைந்த கால்வாய்க்கு, அதன் நீரியல் ஆரம் அதன் குறுக்குவெட்டு வெட்டுப்பரப்பளவை அதன் நனைத்த சுற்றளவால் வகுத்தால் கிடைக்கும் எண் ஆகும். சில உரைகளில் நீரியல் ஆரத்தை விட நான்கு மடங்கு கொண்ட ஒரு சிறப்பியல்பு பரிமாணத்தை பயன்படுத்துகின்றனர் (குழாய் பாய்மத்தில் கிடைக்கப்பெறும் ரேய்னால்ட்ஸ் எண்ணிற்கான Re பெறுமதியைப் போன்றே,^[13] இதிலும் கொந்தளிப்புடன் கூடிய பாய்மத்தின் தொடக்கத்தில் கிடைக்கப்பெறும் காரணத்திற்காக இவ்வாறு தெரிவு செய்தது) மற்றும் வேறுசிலர் நீரியல் ஆரத்தை சிறப்பியல்பு கொண்ட நீட்ட அளவாக எடுத்துக் கொண்டு மேலுமதனால் நிலை மாற்றம் மற்றும் கொந்தளிப்பு வகையிலான பாய்மத்திற்கு வெவ்வேறு பெறுமதி கொண்ட ரேய்னால்ட்ஸ் எண்ணைப் பயன்படுத்துகின்றனர்.

திரவத்தில் ஒரு பொருளுடன்

திரவத்தில் இருக்குமொரு பொருளின் ரேய்னால்ட்ஸ் எண், துணிக்கை ரேய்னால்ட்ஸ் எண் எனப்படுவது, மற்றும் அடிக்கடி Re_p என்ற குறியீட்டால் சுட்டுவது, மிகவும் முக்கியமானதாகும், அதுவும் குறிப்பாக அத்துணுக்கை சுற்றிப் பாயும் திரவத்தின் இயல்பை சார்ந்ததாகவும், மேலும் அதனால் சுழல் குறைப்பு என்ற நிகழ்வு நடந்தேறுமா என்பதையும், மேலும் அதன் வீழ்ச்சிக்கான வேகத்தையும் பொறுத்திருக்கும்.

திரவத்தில் ஒரு கோளம்

திரவத்தில் ஒரு கோளம் இருந்தால், அதற்கான சிறப்பியல்பு நீள அளவு கோளத்தின் விட்டமாகும் மேலும் திசைவேகத்தின் சிறப்பியல்பு கோளம் மற்றும் திரவத்திற்கு இடையே சிறிது தூரத்தில் காணப்படும் இடைவெளி (அந்த நிலைமையில் கோளத்தின் இயக்கம் திரவத்தின் குறிப்புதவி சிப்பங்களை பாதிக்காத நிலையாக இருத்தல் வேண்டும்). அடர்த்தி மற்றும் பாகுத்தன்மை திரவத்தை சார்ந்ததாகும்.^[14] சுத்தமான அடுக்கமைவு பாய்வுநிலையின் பெருமதிப்பு Re = 0.1 வரை மட்டுமே இந்த வரையறைக்குள் உட்பட்டிருப்பதை குறித்துக் கொள்ளுங்கள்.

சிறிய அளவிலான Re பெருமதிப்பு கொண்டவை என்ற நிபந்தனையின் அடிப்படையில், (ஸ்டோக்சு) தோக்கின் விதியானது விசை மற்றும் இயக்கத்தின் வேகம் இரண்டிற்கும் இடையே நிலவும் உறவை உறுதி செய்கிறது.^[15]

திரவத்தில் ஒரு நீள் சதுர வடிவம் கொண்ட ஒரு பொருள்

திரவத்தில் ஒரு நீள் சதுர வடிவம் கொண்ட ஒரு பொருளின் சமன்பாடு கோளத்தின் ஒப்புமை கொண்டது, மேலும் வசதி கருதி அந்தப்பொருள் ஒரு நீள்வட்டக் கோளம் ஆக தோராயமாகக் கருதப்படுகிறது மேலும் இடைநிலையில் உள்ள அச்சு சார்ந்த அளவு சிறப்பியல்பு நீள அளவாக தெரிவு செய்யப் படுகிறது. இது போன்ற காரணிகள் இயற்கையில் காணப்படும் ஆறுகளில் முக்கியமானதாகும், ஏன் என்றால், அங்கே கோள வடிவம் கொண்ட தானியங்கள் மிகவும் குறைவாகும். மிகச்சிறிய வடிவம் கொண்ட தானியம் அல்லது மணல் போன்ற பொருட்களில், ஒவ்வொரு அச்சிலுமுள்ள நீளத்தை கண்டுபிடிப்பது நடைமுறையில் ஒவ்வாததாகும், (எ.கா. அவை மிகவும் சிறியதாக இருப்பது) அப்பொருளின் சிறப்பியல்பு நீள அளவுக்குப் பதிலாக சல்லடையின் விட்ட அளவை பயன்படுத்தலாம். இந்த இரு தோராய முறைகளிலும் கிடைக்கப்பெறும் மாறுநிலை ரேய்னால்ட்ஸ் எண் அதன் பெருமதிப்பில் மாறுபடுகிறது.

வீழ்ச்சி வேகம்

ஒரு துணிக்கையின் திசைவேகத்தின் அளவை நிர்ணயிப்பதில் துணிக்கை ரேய்னால்ட்ஸ் எண் மிகவும் முக்கியமானதாகும். துணிக்கை ரேய்னால்ட்ஸ் எண் அடுக்கமைவு நீரோட்டத்தை சுட்டும் பொழுது, (ஸ்டோக்சு)தோக்கின் விதியை அனுசரித்து அதன் வீழ்ச்சி திசைவேகத்தை கணக்கிடலாம். துணிக்கை ரேய்னால்ட்ஸ் எண் கொந்தளிப்பு நீரோட்டத்தை சுட்டும் பொழுது, ஒரு கொந்தளிப்பு பின்னிழுவிசை விதியை அடிப்படையாகக்கொண்ட ஒரு முன்மாதிரியை உருவாக்கிய பிறகு, அந்த முன்மாதிரியை வைத்துக்கொண்டு அதற்கான உரையாகும் திசைவேகத்தை தோராயமாக அறியலாம்.

திணிமப் படுகை

ஒரு திரவம் சுமாரான கோள வடிவம் கொண்ட மற்றும் D அளவில் விட்டம் கொண்ட துணிக்கைப்படுகையின் ஊடாக பாயும் பொழுது, துணிக்கைகள் ஒன்றோடொன்று தொட்டுக்கொண்டிருப் பவையாகும், மேலும் படுகையில் காணப்படும் திணிவுறாமை காரணமாக காலியாக இருக்கும் இடம் (துணிக்கைகளால் நிரப்பப்படாத இடங்களின் பின்னம்) ε யாக இருந்தால், மற்றும் திரவத்தின் மேலெழுந்தவாறு காணப்படும் திசைவேகம் V ஆக இருந்தால், (அதாவது இந்தப் படுகைக்குள் துணிக்கைகள் இல்லாமல் இருந்தால் கிடைக்கும் உண்மையான திசைவேகம் இதை விட அதிகமாக இருக்கும்), இவற்றின் அடிப்படையில் ஒரு ரேய்னால்ட்ஸ் எண் கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளது போல் வரையறுக்கலாம்:

\mathrm {Re} ={{\varrho {\mathbf {\mathrm {V} } }D} \over {\mu (1-\epsilon )}}.

Re = 10 வரையில் அடுக்கமைவு நிலைமையை சார்ந்திருக்கும், மேலும் 2000 க்கும் மேல் இருந்தால் அது முழு கொந்தளிப்பு நீரோட்டத்தை சார்ந்ததாக இருக்கும்.^[14]

கிண்டும் பாத்திரம்

ஒரு உருளை வடிவம் கொண்ட கலனின் மத்தியில் ஒரு சுற்றும் துடுப்பு, விசைக்சுழலி இயந்திரம் அல்லது செலுத்தி போன்றவைகளை வைத்து சுழல வைத்தால், இந்த நிலைமையில் அதன் சிறப்பியல்பான விட்டம் $D$ அதன் துடுப்பின் விட்டமாகும். அதன் திசைவேகம் $ND$ ஆகும் மற்றும் அதன் சுற்றும் வேகம் $N$ (சுழற்சிகள் பிரதி வினாடியாகும்). அப்பொழுது அதன் ரேய்னால்ட்ஸ் எண் என்பது:

\mathrm {Re} ={{\varrho ND^{2}} \over {\mu }}.

Re யின் பெருமதிப்பு 10 000.க்கும் மேல் இருந்தால் ^[16] இந்த முறைமை அனைத்தும் கொந்தளிப்பு முறையை சார்ந்ததாகும்.

நிலை மாற்ற ரேய்னால்ட்ஸ் எண்

ஒரு தட்டையான பரப்பளவின் மீது ஒரு திரவம் எல்லை ஏடு பாய்மத்துடன் பொழிந்தால், சோதனைகளில் உறுதி செய்த படி, சிறிது தூரத்திற்குப்பாய்ந்த பிறகு, அடுக்கமைவு எல்லை ஏடு அதன் தன்மையை இழந்து மேலும் அதன் பாய்மம் கொந்தளிப்புடன் காணப்படுகிறது. இந்த நிலையில்லாமை பலவகைகள் கொண்ட அளவுடனும் மற்றும் வெவ்வேறு திரவங்களுடன் காணப்படுகிறது, பொதுவாக $\mathrm {Re} _{x}\approx 5\times 10^{5}$ என்ற நிலையில் காணலாம், மற்றும் $x$ என்ற அளவு பரந்த தட்டின் முனையில் இருந்து அளந்த தூரத்தைக் குறிக்கும், மற்றும் நீரோட்ட திசைவேகமானது, முற்றிலும் தடையில்லாத பாய்மத்தின் திசைவேகம் ஆகும், குறிப்பாக திரவத்தில் காணப்படும் எல்லை ஏட்டுக்கு புறமான வேகமாகும்.

$D$ என்ற அளவுடன் கூடிய விட்டத்துடன் ஒரு குழாய் வழியாக ஒரு திரவம் பாயும் பொழுது, சோதனைக் கூடங்களில் நிரூபித்தவை என்ன என்றால், முற்றிலும் மேம்படுத்திய பாய்மத்தின் பொழுது, (குறிப்பு:^[17] ), அடுக்குமுறை நீரோட்டம் $\mathrm {Re} _{D}$ ஆக இருக்கும் பொழுது நடைபெறுகிறது மற்றும் $\mathrm {Re} _{D}>4000$ ^[18] ஆக இருக்கும் பொழுது, கொந்தளிப்புப் பாய்மம் நிகழ்கிறது. 2300 மற்றும் 4000 இடையே நிலவும் இடைவெளியில், நீரோட்டாமானது அடுக்கமைவு முறையிலோ, அல்லது கொந்தளிப்பு பாய்மமாகவோ இருக்கலாம் (நிலைமாறும் பாய்மங்கள்), அவை குழாயின் உராய்வுக் காரணி மற்றும் நீரோட்டத்தின் தன்மை போன்ற காரணிகளைத் தழுவி இருக்கும். இந்த முடிவுகளை ஆதாரமாகக்கொண்டு அவற்றை வட்ட வடிவமல்லாத கால்வாய்களுக்கும், நீரியல் விட்டத்தைப் பயன்படுத்தி, மேலும் நிலைமாற்ற ரேய்னால்ட்ஸ் எண்களையும் இதர கால்வாயின் வடிவங்களுக்கு ஏற்றதாக கணக்கிடலாம்.

இவ்வகை நிலைமாற்ற ரேய்னால்ட்ஸ் எண்கள் மாறுநிலை ரேய்னால்ட்ஸ் எண்கள் என வழங்குகின்றன, மற்றும் சுமார் 1895 ஆம் ஆண்டுகளில் இது பற்றி விரிவாக ஒஸ்போர்ன் ரேய்னால்ட்ஸ் என்பவர் ஆராய்ந்து வந்தார். [ரொட்டைப் பாருங்கள்].

குழாய் உராய்வில் ரேய்னால்ட்ஸ் எண்

குழாய்கள் மூலமாக முழுமையாக வளர்க்கப்பட்ட திரவங்கள் பாயும் பொழுது காணப்படும் அழுத்த வீழ்ச்சிகளை, மூடி விளக்க வரைபடத்தை வைத்துக்கொண்டு முன்னுரைக்க இயலும், இந்த விளக்கப்படத்தில் டார்சி–வேயச்பச் உராய்வுக் காரணி $f$ , ரேய்னால்ட்ஸ் எண் ${\mathrm {Re} }$ மற்றும் சுரசுரப்பு சார்ந்த காரணிகளுக்கு $\epsilon /D$ எதிராக வரைந்துள்ளது. இந்தப்படத்தில் ரேய்னால்ட்ஸ் எண்ணுக்கு எதிராக, அந்த எண் வளர வளர, அடுக்கமைவு, மாறுநிலை, மற்றும் கொந்தளிப்புப் பாய்மம் சார்ந்த பாய்மங்களைக் குறிக்கும் வீச்சுகளை மிகவும் தெளிவாகக் காணலாம். குழாய் மூலமாக ஒரு திரவம் பாயும் இயல்பானது, அந்தப் பாய்மம் அடுக்கமைவு பாய்ம முறையை சார்ந்ததா அல்லது கொந்தளிப்பு பாய்ம முறையை சார்ந்ததா என்பதைப் பொறுத்து மாறுபடுகிறது.

பாய்மங்களில் காணப்படும் ஒப்புடமை

இரு வெவ்வேறு பாய்மங்கள் ஒரே போன்று இருக்க வேண்டுமென்றால், அந்த இரு வகைகளும் ஒத்த வடிவவியல் தன்மையுடன் இருக்க வேண்டும். அவற்றின் ரேய்னால்ட்ஸ் எண் அளவீடு மற்றும் ஆய்லர் எண்களின் (Euler numbers) அளவீடுகள் சமமாக இருக்க வேண்டும். ஒரு மாதிரி வடிவமைப்பில் மற்றும் முழு அளவிலான பாய்வில், இரு திரவங்களின் பாயும் தன்மைகளை ஒப்புமை நிலைகளில் ஒப்பிட்டுப் பார்ப்பதற்கு, கீழே கொடுத்தபடி இருப்பது மிகவும் முக்கியமானதாகும்:

\mathrm {Re} _{m}=\mathrm {Re} \;

\mathrm {Eu} _{m}=\mathrm {Eu} \;\quad \quad {\mbox{i.e.}}\quad {p_{m} \over \varrho _{m}{v_{m}}^{2}}={p \over \varrho v^{2}}\;,

'm' என்ற குறியீட்டுடன் கூடியவை மாதிரியைச் சுற்றியமைந்த பாய்மத்தைக் குறிப்பதாகும் மேலும் மற்றவை உண்மையான பாய்மத்தைக் குறிப்பதாகும். இதன் காரணமாக குறைந்த அளவு கொண்ட முன்மாதிரிகளை வைத்துக்கொண்டு தண்ணீர் கால்வாய்கள் அல்லது காற்றுப் புழைகளில் பொறியாளர்கள் தமது ஆராய்ச்சிகளை மேற்கொண்டு, அதன் அடிப்படையில் அவற்றை உண்மையில் நிகழும் பாய்மங்களுடன் தொடர்புடமை காட்டலாம், இப்படி செய்வதால் ஆய்வுகளை மேற்கொள்வதற்கான கணிசமான அளவில் காலத்தையும் நேரத்தையும் மிச்சப்படுத்தி, செலவுகளையும் குறைக்கலாம். மேலும் உண்மையான இயக்கவாற்றல் ஒப்புமையை அடைவதற்கு இதர பரிமானமிலா எண்களும் ஒப்புமையுடன் இருத்தல் அவசியமாகும், எடுத்துக்காட்டாக அமுக்கப்படுமியல்புடைய நீரோட்டத்தில் பயன்படும் மக் எண், அல்லது திறந்த கால்வாய்களில் நீரோட்டத்தை முறைப்படுத்தும் ஃபிரௌடே எண் போன்றவை. சில நீரோட்டங்களில் மேலும் அதிகமான பரிமாணமில்லா சுட்டளவுகள் இடைபெடுகின்றன மேலும் நடைமுறையில் கிடைக்கப்பெறும் உபகரணங்கள் மற்றும் திரவங்களைக் கொண்டு அவை அனைத்தையும் மதிப்பிடுவது சாத்தியமல்ல, (எடுத்துக்காட்டாக காற்று அல்லது தண்ணீர்), மேலும் அதனால் நாம் எந்தெந்த சுட்டளவுகளை முக்கியமாகக் கருதுகிறோமோ, அவற்றிற்கேற்ப நாம் நடந்துகொள்ள வேண்டும். சோதனைமுறையிலான நீரோட்ட முன்மாதிரி ஓட்டங்கள் பயன்படுபவையாக இருப்பதற்கு, அதை வழி நடத்தும் பொறியாளருக்கு ஒரு நல்ல விதமான அனுபவமும் மற்றும் கண்டறியும் திறனும் அவசியமாகும்.

வெவ்வேறு பொருட்களுக்கான மாதிரி ரேய்னால்ட்ஸ் எண் பெறுமதிப்பு^[19]^[20]

நுண்ணுயிரிகள் ~10⁻⁵
வளர்ச்சியுற்ற விந்தணு~10⁻⁴^[21]
பிசிருயிர் ~10⁻¹
மிகச்சிறிய மீன் ~1
மூளையில் இரத்தப் பாய்மம் ~ 1 × 10²
பெருநாடியில் இரத்தப் பாய்மம் ~ 1 × 10³

கொந்தளிப்புப் பாய்வின் தொடக்கம் ~ 2.3 × 10³ முதல் 5.0 × 10⁴ குழாய்ப் பாய்வில் மற்றும் 10⁶ வரை எல்லைப்படலங்களுக்கு

மேஜர் லீக் பேஸ்பாலில் மாதிரி சுருதி ~ 2 × 10⁵
நீச்சல் அடிப்பது ~ 4 × 10⁶
மிகவும் வேகத்துடன் கூடிய மீன் ~10⁶
நீல திமிங்கலம் ~ 3 × 10⁸
ஒரு பெரிய கப்பல்(ஆர்எம்எஸ் க்வீன் எலிசபெத் 2) ~ 5 × 10⁹

கொந்தளிப்பு இயக்கத்தின் மிகச்சிறிய அளவு கூட ரேய்னால்ட்ஸ் எண்ணின் ஆதிக்கத்தில் நடக்கின்றன

கொந்தளிப்புப் பாய்வு முறையில், நேரத்துடன் மாறுபாடு கொண்ட திரவத்தின் இயக்கத்தின் அளவு பல வீச்சுக்களைக் கொண்டது. திரவ இயக்கத்தின் மிகப்பெரிய அளவுகள் (சில நேரங்களில் எதிர்ச்சுழிப்புகள் என அறியப்படுவது) பாய்வின் ஒட்டுமொத்தமான வடிவவியலைச் சார்ந்து வேறுபடுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு தொழில்துறை புகைபோக்கியில், திரவ இயக்கத்தின் மிகப்பெரிய அளவுகள் புகைபோக்கியின் விட்டத்திற்கு சமமாகக் காணப்படும். மிகச்சிறிய அளவுகோலின் அளவு ரேய்னால்ட்ஸ் எண்ணைச் சார்ந்ததாக காணப்படும். ரேய்னால்ட்ஸ் எண் அதிகரிக்கும் பொழுது, பாய்மத்தின் சிறிய மற்றும் சிறிய அளவுகள் கண்ணுக்குத் தெரிகின்றன. ஒரு புகைபோக்கியில், பாயும் புகையானது, பல வகைகளில் மிகச்சிறிய திசைவேகம் கொண்ட கொந்தளிப்புகள் அல்லது எதிர்சுழிப்புகளுடன் காணப்படும், மேலும் கூடுதலாக பெரிய பருமனான எதிர்சுழிப்புகளும் காணப்படும். இதன் படி, ரேய்னால்ட்ஸ் எண் ஆனது, பாய்மத்தில் இருக்கும் இது போன்ற பல அளவுகள் கொண்ட வீச்சுக்கு ஒரு சுட்டிக்காட்டியாக இருக்கலாம். ரேய்னால்ட்ஸ் எண்ணின் அளவு உயர உயர, வீச்சின் அளவுமுயர்ந்துகொண்டே போகிறது. மிகப்பெரிய எதிர்சுழிப்புகள் எப்பொழுதும் ஒரே அளவைக் கொண்டதாக இருந்தாலும், மிகச் சிறிய எதிர்சுழிப்புக்கள் ரேய்னால்ட்ஸ் எண்ணைச் சார்ந்ததாகவே காணப்படும்.

இது போன்ற தோற்றப்பாடிற்கான விளக்கம் தான் என்ன? பெரிய அளவில் ரேய்னால்ட்ஸ் எண் காணப்பட்டால் அதன் காரணமாக பெரிய அளவிலான பாய்மதத்தின் பொழுது பாகு விசைகள் அத்தனை முக்கியத்துவம் கொண்டதாக தெரியவில்லை. உறழ்விசையின் ஆற்றல் பாகுத் தன்மையின் விசையாற்றலை விட பன்மடங்கு உயர்ந்ததாக இருக்கும் பொழுது, திரவ இயக்கத்தின் மிகப் பெரிய அளவிலான எதிர்சுழிப்பு கூட தடையராமல் காணப்படும்- இந்த இயக்கங்களை சிதறவைப்பதற்கான போதிய அளவு பாகுத் தன்மை இல்லாதிருப்பதே அதன் காரணமாகும். பெரிய அளவிலான எதிர்சுழிப்புகளில் இருந்து அதன் இயக்கநிலை ஆற்றல் கொஞ்சம் கொஞ்சமாக சிறிய அளவுகளுக்கு "அடுத்தடுத்த" நிலைகளுக்குத் முன்னேற்றத்துடன் தாவிக் கொண்டே செல்ல வேண்டும் மற்றும் ஒரு காலகட்டத்தில் பாகுத்தன்மையின் விசையாற்றலின் அளவு முக்கியமானதாக மாறும் (அதாவது, பாகுத்தன்மை கொண்ட விசைகள் உறழ்விசையின் ஆற்றலுக்கு சமமாக உயர்ந்துவிடும்). இது போன்ற சிறிய அளவிலான நிலைமைகளில் மட்டுமே இறுதியாக பாகுத்தன்மையின் செயல்பாட்டினால் விசையாற்றல் தொடர்ந்து சிதறுகிறது. எந்த அளவில் இது போன்ற பாகுத்தன்மை காரணம் சிதறுகிறது என்பதை ரேய்னால்ட்ஸ் எண்ணின் அடிப்படையில் தெரிந்து கொள்ளலாம். அதனால், மிகப்பெரிய எதிசுழிப்புகள் பாய்ம வடிவவியலை சார்ந்ததாக இருப்பதும் மற்றும் மிகச்சிறிய அளவிலான எதிர்சுழிப்புகள் பாகுத்தன்மையை சார்ந்து இருப்பதாலும், இதன் மூலமாக ரேய்னால்ட்ஸ் எண் என்பது கொந்தளிப்பு இயக்கத்தின் மிகப்பெரிய அளவு மற்றும் சிறிய அளவிலான கொந்தளிப்பு இயக்கத்தின் அளவு ஆகிய இரு அளவுகளின் விகிதமாகும் என்பதை அறிந்துகொள்ளலாம்.

ரேய்னால்ட்ஸ் எண்ணின் முக்கியத்துவத்தைக் குறிக்கும் எடுத்துக்காட்டுகள்

ஒரு விமானத்தின் சிறகுகளை சோதிக்க, அந்த விமானத்தின் அளவு குறைக்கப்பட்ட முன் மாதிரியை, ஒரு காற்றுப்புழையில் இயற்கையாக வானத்தில் கிடைக்கப்பெறும் அதே ரேய்னால்ட்ஸ் எண் கொண்ட சூழ்நிலைகளில் சோதிக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக அளவு குறைந்த முன்மாதிரியின் நேரோடி பரிமாணங்கள் முழு வடிவத்தின் கால் பாகமாக இருந்தால், அப்போது ஒரே போன்ற ஒத்திசைவுடன் கூடிய பாய்ம நிலை கிடைப்பதற்கு, முன் மாதிரியின் பாய்ம திசைவேகத்திற்கான காரணியை நான்கு மடங்காக பெருக்கவேண்டும்.

இல்லாவிட்டால், இந்த சோதனைகளை வளிமண்டலத்திற்கு பதிலாக தண்ணீருக்குள்ளும் நடத்தலாம் (அதாவது அழுந்தும் தன்மையால் ஏற்படும் விளைவுகளால் பாதிப்பு ஏற்படவில்லை என்றால்). 15 °C வெப்ப அளவில் தண்ணீரின் இயங்கியல் பாகுமை பாகுத்தன்மை காற்றை விட 13 மடங்கு குறைவாகக் இருப்பதால், இதன் படி முன்மாதிரியின் அளவு அனைத்து பரிமாணங்களிலும் ஒன்றில் பதிமூன்று பாகமாக இருந்தாலே போதுமானது, மேலும் முழு - அளவிலான பாய்ம திசைவேகங்கள் பயன்படும் என்ற அடிப்படையான அனுமானத்துடன் சோதனையை மேற்கொண்டால், அப்போது தேவைப்படும் அதே ரேய்னால்ட்ஸ் எண் கொண்ட சூழ்நிலையை உருவாக்கி, சோதனையை நிகழ்த்தலாம்.

ஆய்வுக்கூடத்தில் கண்டறிந்த சோதனைகளின் முடிவுகளும் அசல் விமானத்தின் சிறகுகளுக்கு ஒப்பாக ஒரே மாதிரியாக இருக்கும். அதனால் முழு அளவிலான ஒரு விமானத்தை ஆய்வுக் கூடத்திற்கு கொண்டு வந்து சோதனை செய்ய வேண்டிய கட்டாயம் இல்லாமல் போகிறது. இது ஒரு "இயக்கவாற்றல் ஒப்புமைக்கான" ஒரு நல்ல எடுத்துக்காட்டாகும்.

ரேய்னால்ட்ஸ் எண் ஆனது ஒரு பொருளின் பின்னிழுவிசை சிறப்பியல்புகளை கணக்கிடுவதற்கு மிகவும் முக்கியமான ஒரு காரணியாகும். ஒரு குறிப்பிடும்படியான எடுத்துக்காட்டு, ஒரு உருளை அல்லது கலனைச்சுற்றி ஒரு திரவத்தின் பாய்மம் ஆகும் http://scienceworld.wolfram.com/physics/CylinderDrag.html. சுமார் 3×10⁶ Re எண்ணிற்கு பின்னிழுவிசை கெழு கணிசமான அளவுக்கு குறைந்து காணப்படும். விமானங்கள் குறைந்த பின்னிழுவிசையுடன் பறக்கும் பொழுது (மற்றும் அதன் காரணாமாக ஒரு நீண்ட வீச்சுக்கு உட்படும் பொழுது) உகம வேகத்தில் விமானத்தைப் பறக்க விடுவதற்கான கணக்குகளை புரிவதற்கு இது மிகவும் முக்கியமானதாகும்.

உடலியக்கவியலில் ரேய்னால்ட்ஸ் எண்

நமது உடலின் இரத்த ஓட்டம் போய்சூய்லே விதிகளின் அடிப்படையில் அடுக்கமைவு பாய்மம் கொண்டதாகும். கொந்தளிப்புப் பாய்வில் நீரோட்ட வேகம் ஆனது அழுத்த மாறுபாட்டுக் கோட்டின் இருபடி மூலத்துடன் நேரடி விகிதம் கொண்டதாகும், ஆனால் இதின் எதிர்மறையாக, அடுக்கமைவு பாய்வில் அது அழுத்த மாறுபாட்டுக் கோட்டுடன் நேரடி விகிதம் கொண்டதாகக் காணப்படும்.

ரேய்னால்ட்ஸ் எண்ணுக்குக் கொடுக்கப்பட்டுள்ள வரையறையைப் பயன்படுத்தி நாம் பார்த்தோமானால், வேகமான பாய்ச்சலுடன் ஒரு பெரிய விட்டம் வழியாக, மிகையான அடர்த்தி கொண்ட இரத்தம் பாயுமானால், அது கொந்தளிப்புடன் கொண்ட பாய்வாகவே இருக்கும். இரத்தம் பாயும் நாளங்களில் மிக விரைவான மாற்றங்கள் ஏற்பட்டால், அது கொந்தளிப்புப் பாய்விற்கு கொண்டு சென்று விடும், அதிலும் குறிப்பாக ஒரு சிறிய அளவுடைய நாளத்தில் இருந்து அகலமான நாளத்திற்குள் இரத்தம் பாயும் பொழுது அப்படி ஏற்படும். மேலும், கொந்தளிப்புப் பாய்விற்கான காரணம் ஒரு கூழ்மைக்கரடு பிரச்சினையாகவும் இருக்கலாம், மேலும் இதயத்துடிப்பு மானியை வைத்துக்கொண்டு கொந்தளிப்பு கண்டு பிடிக்கப்பட்டால், இந்த நோய்க்கான அறிகுறியாகவும் இருக்கலாம்.

பாகுத்தன்மையுள்ள திரவங்களின் ரேய்னால்ட்ஸ் எண்

ஒரு கோளத்தைத் தாண்டிச்செல்லும் ஊர்வுப் பாய்வு: அருவிக்கோட்டுப்பாய்வு வரிகள், பின்னிழு விசை Fd மற்றும் புவியீர்ப்பு விசை Fg.

பலபடிச் சேர்ம கரைசல்கள் மற்றும் உருக்கிய பலபடிச் சேர்மங்கள் போன்றவைகளில், பொதுவாகவே பாகுத்தன்மை மிகையாக இருக்கும், மேலும் அவை ஒழுகும் பொழுது, பொதுவாக அடுக்கமைவு சார்ந்த பாய்மமாகவே அது இருக்கும். அதன் ரேய்னால்ட்ஸ் எண் மிகவும் சிறிய எண்ணாக இருக்கும் மேலும் (ஸ்டோக்சு) தோக்கின் விதி யைப் பயன்படுத்தி குறிப்பிட்ட திரவத்தின் பாகுத்தன்மையை அளந்திடலாம். குறிப்பிட்ட திரவத்திற்குள் கோளங்களை இயல்பாக கீழ்நோக்கி விழ வைத்தால், அப்படி செய்யும் பொழுது, அவை மிகவும் விரைவாக அதன் முற்று திசைவேகத்தை அடைகின்றன, இதிலிருந்து திரவத்தின் பாகுத்தன்மையை விதியைப் பயன்படுத்தி கணக்கிட்டுப் பெறலாம்.

பலபடிச் சேர்ம கரைசல்களில் காணப்படும் அடுக்கமைவு பாய்மத்தைப் போலவே, இயற்கையாக, மீன் மற்றும் ஓங்கில் போன்ற கடல்வாழ் இனங்கள் தன்னலப்படுத்துகின்றன, அவை தண்ணீருக்குள் நீந்தும் பொழுது, நீச்சல் எளிதாக இருப்பதற்காக, அவற்றின் உடல்களில் இருந்து பாகுத்தன்மை கொண்ட கரைசல்களை வெளியேற்றுகின்றன. இதே போன்று பாய்மரப்படகுப் போட்டிகளில் கலந்து கொள்ளும் போட்டியாளர்கள், தமது பாய்மரப்படகு எளிதாக அதிக வேகத்தை அடைவதற்கு, பாய்மரப்படகின் நனையும் வெளிப்பரப்பில், குறைந்த மூலக்கூறு எடை கொண்ட, தண்ணீரில் போலிஆக்ஸிஎதிலின் கலந்த கரைசலை எக்கி மூலமாக படியவிட்டு, தமது பந்தையத்தில் வேகமாக படகை செலுத்த விழைகின்றனர். இருந்தாலும், பலபடிச் சேர்மங்களைக் கலக்குவது என்பது மிகவும் சிரமமானதாகும், எடுத்துக்காட்டாக அவற்றில் காணப்படும் மிகவும் நயமான நிரப்புப் பொருளை படகின் வெளிபாகத்தில் நன்றாக விதரணம் செய்வதற்கு நல்ல பாய்ச்சலுடன் கூடிய கொந்தளிப்பு தேவைப்படுகிறது. "துவாரத்தில் இடம் மாற்றும் கலப்பி" போன்ற புதிய கண்டுபிடிப்பு உபகரணங்கள் தற்பொழுது பயன்பாட்டில் உள்ளன, அவை கலக்கும் செயல்திறமையைக் கூட்டுவதற்காக ஒரு நகரும் உருக்கிலிருந்து பன்மை மடிப்புகளை தயாரிக்க மேம்பாடுகள் செய்யப்பட்டுள்ளன. இக்கருவியை கலக்குவதை எளிதுபடுத்த பிதுக்கிகள் போன்ற இயந்திரங்களைப் பயன்படுத்தலாம்.

அது எங்கிருந்து வருகிறது?

ஒருவர் அமுக்க இயலாத நேவியர்–ஸ்டோக்ஸ் சமன்பாடுகளின் பரிமானமிலா வடிவத்தை பயன்படுத்தினால் ரேய்னால்ட்ஸ் எண்னை அடையலாம்:

\varrho \left({\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {v} \right)=-\nabla p+\mu \nabla ^{2}\mathbf {v} +\mathbf {f} .

மேலே கொடுத்துள்ள சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு சொல்லும் கனவளவு ஆட்பலத்தின் அலகு கொண்டதாகும் அல்லது சமவலுவுடன் கூடிய முடுக்கத்துடன் அடர்த்தியைப் பெருக்கினால் கிடைக்கும் அலகு கொண்டதாகும். அதனால் இந்த சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு சொல்லும் பாய்மத்திற்கு ஏற்ற துல்லியமான அளவுகளை சார்ந்ததாகும். இந்த சமன்பாட்டை பரிமாணமில்லா வடிவத்தில் மாற்றியமைக்கும் பொழுது, அதாவது நாம் அந்த அடிப்படை சமன்பாட்டின் தலைகீழ் காரணிகள் கொண்ட அலகுகளுடன் பெருக்கும் பொழுது, நேராக அதன் உடல் சார்ந்த அளவிகளுடன் தொடர்பில்லாத ஒரு வடிவத்தை நாம் பெறுகிறோம். பரிமாணமில்லா சமன்பாட்டினை அடைவதற்கு உள்ள ஒரு ஏற்கக்கூடிய வழி, மொத்த சமன்பாட்டையும் கீழே கொடுத்துள்ள காரணியுடன் பெருக்குவதாகும்:

{\frac {D}{\varrho V^{2}}}

மேலே கொடுத்த சமன்பாட்டின் குறியீடுகள் யாவும் முதலில் ரேய்னால்ட்ஸ் எண் சமன்பாட்டுக்காக வரையறை செய்த குறியீடுகளே. இப்பொழுது நாம் இப்படி அமைத்தால்:

\mathbf {v'} ={\frac {\mathbf {v} }{V}},\ p'=p{\frac {1}{\varrho V^{2}}},\ \mathbf {f'} =\mathbf {f} {\frac {D}{\varrho V^{2}}},\ {\frac {\partial }{\partial t'}}={\frac {D}{V}}{\frac {\partial }{\partial t}},\ \nabla '=D\nabla

நாம் நேவியர்–ஸ்டோக்ஸ் சமன்பாட்டினை பரிமாணம் இல்லாதவாறு அமைக்கப்பெறலாம்:

{\frac {\partial \mathbf {v'} }{\partial t'}}+\mathbf {v'} \cdot \nabla '\mathbf {v'} =-\nabla 'p'+{\frac {\mu }{\varrho DV}}\nabla '^{2}\mathbf {v'} +\mathbf {f'}

இங்கே இந்தச் சொல்லானது: ${\frac {\mu }{\varrho DV}}={\frac {1}{\mathrm {Re} }}.$

இறுதியாக, எளிதாக வாசிப்பதற்காக நாம் பகா எண்களைத் தவிர்த்தால்:

{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {v} =-\nabla p+{\frac {1}{\mathrm {Re} }}\nabla ^{2}\mathbf {v} +\mathbf {f} .

இதன் காரணமாகத்தான் கணித முறைகளில் ஒரே ரேய்னால்ட்ஸ் எண் கொண்ட அனைத்து வித பாய்மங்களும் ஒப்பிட்டுப்பார்க்கும் வண்ணம் உள்ளது.

மேற்கோள்கள்

↑ Tansley & Marshall 2001, ப. 3274–3283.
↑ Bush, John W. M. "Surface tension module" (PDF).
↑ Stokes 1851, ப. 8–106.
↑ ^4.0 ^4.1 Sommerfeld 1908, ப. 116–124.
↑ Reynolds 1883, ப. 935–982.
↑ Rott 1990, ப. 1–11.
↑ Osborne Reynolds (1883). "An experimental investigation of the circumstances which determine whether the motion of water shall be direct or sinuous, and of the law of resistance in parallel channels". Philosophical Transactions of the Royal Society 174: 935–982. doi:10.1098/rstl.1883.0029. JSTOR.
↑ Falkovich 2018.
↑ Hall, Nancy (5 May 2015). "Boundary Layer". Glenn Research Center. பார்க்கப்பட்ட நாள் 17 September 2019.
↑ வலைத்தளம்:www.grc.nasa.gov
↑ "Reynolds Number". Engineeringtoolbox.com. 2003.
↑ ஆர். W. போக்ஸ், ஏ. டி. மக்டோனட், பில்லிப் ஜே. பரிட்சார்ட் பாய்ம இயக்கவியலுக்கு அறிமுகம், 6 ஆவது பதிப்பு ஆ (ஜான் விலே அண்ட் சன்ஸ்) பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-471-20231-2 பக்கம் 348
↑ வி. எல். ஸ்ட்ரீட்டர் (1962)பாய்ம இயக்கவியல் , 3 ஆவது பதிப்பு, (மக்க்ராவ் ஹில்)
↑ ^14.0 ^14.1 எம். ரோடெஸ் (1989) இன்ட்றொடக்சன் டு பார்டிகிள் டெக்நோலோஜி விலே பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-471-98482-5 கூகிள் பூக்ஸில்
↑ ட்யுசென்பெரி, டேவிட் பி. (2009). லிவிங் அட் மைக்ரோ ஸ்கேல் , ப.49. ஹார்வார்ட் பல்கலைக்கழகப் பதிப்பகம், கேம்பிறிட்ஜ், மாஸ். பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-0-674-03116-6.
↑ ஆர். கே. சின்னோட் கொவ்ல்சன் அண்ட் ரிச்சர்ட்சன்ஸ் கெமிகல் எஞ்சினீரிங், பதிப்பு 6: கெமிகல் எஞ்சினீரிங் டிசைன், 4 ஆவது பதிப்பு (பட்டர்வார்த்-ஹெயநேமன்) பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-7506-6538-6 பக்கம் 473
↑ நீரோட்டம் குழாய்க்குள் நுழையும் வேளை நீரோட்டம் முழுக்க முழுக்க மேம்பாடு அடைந்து, எல்லையில் காணப்படும் ஏடு மேலும் கெட்டியடைகிறது மற்றும் பல விட்ட அளவு தூரங்களைக் கடந்த பிறகு நிலையான தன்மையை அடைகிறது.
↑ ஜே.பி. ஹோல்மன் (Heat Transfer) வெப்பப் பெயர்ச்சி , மக்க்ராவ் ஹில், 2002, ப.207
↑ படேல், வி. சி., W. ரோடி, மற்றும் ஜி. ச்யூறேர். "டர்புலென்ஸ் மோடல்ஸ் போர் நியர்-வால் அண்ட் லோ ரேய்னால்ட்ஸ் நம்பர் ப்ளோஸ்- ஏ ரிவியூ." ஏஐஏஏ ஜெர்னல் 23.9 (1985): 1308-19.
↑ [12] ^ ட்யுசென்பெரி, டேவிட் பி. (2009). லிவிங் அட் மைக்ரோ ஸ்கேல் , ப.136. ஹார்வார்ட் பல்கலைக்கழகப் பதிப்பகம், கேம்பிறிட்ஜ், மாஸ். பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-0-674-03116-6.
↑ விக்கின்ஸ், சி. எச்., மற்றும் ஆர். ஈ. கோல்ட்ச்டீன்."ஃப்லெக்சிவ் அண்ட் ப்ரோபல்சிவ் டைனாமிக்ஸ் ஓப் எலாச்டிகா அட் லோ ரேய்னால்ட்ஸ் நம்பர்." ஃபிசிகல் ரெவியூ லெட்டர்ஸ் 80.17 (1998): 3879-82.

வெளி இணைப்புகள்

[FOOTNOTETansleyMarshall20013274–3283-1] Tansley & Marshall 2001, ப. 3274–3283.

[2] Bush, John W. M. "Surface tension module" (PDF).

[FOOTNOTEStokes18518–106-3] Stokes 1851, ப. 8–106.

[FOOTNOTESommerfeld1908116–124-4] 4.0 ^4.1 Sommerfeld 1908, ப. 116–124.

[FOOTNOTEReynolds1883935–982-5] Reynolds 1883, ப. 935–982.

[FOOTNOTERott19901–11-6] Rott 1990, ப. 1–11.

[PTRS174-7] Osborne Reynolds (1883). "An experimental investigation of the circumstances which determine whether the motion of water shall be direct or sinuous, and of the law of resistance in parallel channels". Philosophical Transactions of the Royal Society 174: 935–982. doi:10.1098/rstl.1883.0029. JSTOR.

[FOOTNOTEFalkovich2018-8] Falkovich 2018.

[Hall2015-9] Hall, Nancy (5 May 2015). "Boundary Layer". Glenn Research Center. பார்க்கப்பட்ட நாள் 17 September 2019.

[NASA-10] வலைத்தளம்:www.grc.nasa.gov

[Engineeringtoolbox-11] "Reynolds Number". Engineeringtoolbox.com. 2003.

[Fox-12] ஆர். W. போக்ஸ், ஏ. டி. மக்டோனட், பில்லிப் ஜே. பரிட்சார்ட் பாய்ம இயக்கவியலுக்கு அறிமுகம், 6 ஆவது பதிப்பு ஆ (ஜான் விலே அண்ட் சன்ஸ்) பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-471-20231-2 பக்கம் 348

[Streeter-13] வி. எல். ஸ்ட்ரீட்டர் (1962)பாய்ம இயக்கவியல் , 3 ஆவது பதிப்பு, (மக்க்ராவ் ஹில்)

[Rhodes-14] 14.0 ^14.1 எம். ரோடெஸ் (1989) இன்ட்றொடக்சன் டு பார்டிகிள் டெக்நோலோஜி விலே பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-471-98482-5 கூகிள் பூக்ஸில்

[15] ட்யுசென்பெரி, டேவிட் பி. (2009). லிவிங் அட் மைக்ரோ ஸ்கேல் , ப.49. ஹார்வார்ட் பல்கலைக்கழகப் பதிப்பகம், கேம்பிறிட்ஜ், மாஸ். பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-0-674-03116-6.

[Sinnott-16] ஆர். கே. சின்னோட் கொவ்ல்சன் அண்ட் ரிச்சர்ட்சன்ஸ் கெமிகல் எஞ்சினீரிங், பதிப்பு 6: கெமிகல் எஞ்சினீரிங் டிசைன், 4 ஆவது பதிப்பு (பட்டர்வார்த்-ஹெயநேமன்) பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-7506-6538-6 பக்கம் 473

[17] நீரோட்டம் குழாய்க்குள் நுழையும் வேளை நீரோட்டம் முழுக்க முழுக்க மேம்பாடு அடைந்து, எல்லையில் காணப்படும் ஏடு மேலும் கெட்டியடைகிறது மற்றும் பல விட்ட அளவு தூரங்களைக் கடந்த பிறகு நிலையான தன்மையை அடைகிறது.

[18] ஜே.பி. ஹோல்மன் (Heat Transfer) வெப்பப் பெயர்ச்சி , மக்க்ராவ் ஹில், 2002, ப.207

[19] படேல், வி. சி., W. ரோடி, மற்றும் ஜி. ச்யூறேர். "டர்புலென்ஸ் மோடல்ஸ் போர் நியர்-வால் அண்ட் லோ ரேய்னால்ட்ஸ் நம்பர் ப்ளோஸ்- ஏ ரிவியூ." ஏஐஏஏ ஜெர்னல் 23.9 (1985): 1308-19.

[20] [12] ^ ட்யுசென்பெரி, டேவிட் பி. (2009). லிவிங் அட் மைக்ரோ ஸ்கேல் , ப.136. ஹார்வார்ட் பல்கலைக்கழகப் பதிப்பகம், கேம்பிறிட்ஜ், மாஸ். பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-0-674-03116-6.

[21] விக்கின்ஸ், சி. எச்., மற்றும் ஆர். ஈ. கோல்ட்ச்டீன்."ஃப்லெக்சிவ் அண்ட் ப்ரோபல்சிவ் டைனாமிக்ஸ் ஓப் எலாச்டிகா அட் லோ ரேய்னால்ட்ஸ் நம்பர்." ஃபிசிகல் ரெவியூ லெட்டர்ஸ் 80.17 (1998): 3879-82.

[2]

[1]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]