வர்க்கப்படுத்தப்பட்ட முக்கோண எண்

எண் கோட்பாட்டில் முதல் n கன எண்களின் கூடுதல், n -ஆம் முக்கோண எண்ணின் வர்க்கத்திற்குச் சமமாக இருக்கும்.

ஒரு முக்கோண எண்ணின் வர்க்கம், கன எண்களின் கூடுதலுக்குச் சமமாக இருக்கும் என்பதைக் காட்டும் படவிளக்கம்.

$\sum _{i=1}^{n}i^{3}={\Bigl (}\sum _{i=1}^{n}i{\Bigr )}^{2}.$

சிலசமயங்களில் இம்முற்றொருமை நிசோமாசுஸ் தேற்றம் என அழைக்கப்படுகிறது.

வரலாறு

• 1995 -ல் நிசோமாசுஸ் தேற்றம் பற்றி எழுதிய ஸ்ட்ரோக்கர், எண் கோட்பாட்டைப் பயிலும் ஒவ்வொரு மாணவரும் கண்டிப்பாக இந்த அதிசயமான உண்மையைக் கண்டு வியந்திருப்பார்கள் என்கிறார். இக்கூற்று கொஞ்சம் மிகைப்படுத்தப்பட்ட கவித்தவத்துடன் இருந்தாலும் பல கணிதவியலாளர்கள் இந்த முற்றொருமையை பல வகைகளில் ஆராய்ந்து நிரூபித்துள்ளனர்.

• பென்கெல்லி (2002), பண்டைய கணிதவியலாளர்களின் கூற்றுகளில் இம்முற்றொருமைப் பற்றிய குறிப்புகள் காணப்படுவதைச் சுட்டிக் காட்டியுள்ளார்:

முதல் நூற்றாண்டு - நிசோமாசுஸ் (தற்போதைய ஜோர்டான்);

ஐந்தாம் நூற்றாண்டு - ஆரியபட்டர் (இந்தியா);

சுமார் 1000-ல் - அல்-கராஜி (பாரசீகம்).

• பிரேசோத் (2004), மேலும் பல ஆரம்பகால கணிதக்கணிப்புகளில் இம்முற்றொருமை பற்றிய குறிப்புகள் காணப்படுவதாகக் கூறுகிறார்:

பத்தாம் நூற்றாண்டு - அல்காபிட்டியஸ் (அரேபியா);

சுமார் 1300-ல் கெர்சனைட்ஸ் (பிரான்சு);

சுமார் 1500-ல் நீலகண்ட சோமயாஜி (இந்தியா).

மேலும் அவர் நீலகண்டரின் காட்சி நிறுவலை மீட்டுருப்படுத்தியுள்ளார்.

வடிவவியல் விளக்கம்

வர்க்கப்படுத்தப்பட்ட முக்கோண எண்கள்:

0, 1, 9, 36, 100, 225, 441, 784, 1296, 2025, 3025, 4356, 6084, 8281, ... (OEIS-இல் வரிசை A000537)

.

இந்த எண்களை வடிவ எண்களாகவும், முக்கோண எண்கள் மற்றும் சதுர பிரமிடு எண்களின் நான்கு பரிமாண மீப்பிரமிடு பொதுமைப்படுத்தலாகவும் கருதலாம்.

n×n சதுர வலைச்சட்டத்துக்குள் அமையும் மொத்த செவ்வகங்களின் எண்ணிக்கையை இந்த வர்க்கப்படுத்தப்பட்ட n -ஆம் முக்கோண எண் குறிக்கிறது என்பதை ஸ்டெய்ன் (1971) கண்டறிந்துள்ளார். எடுத்துக்காட்டாக ஒரு 4×4 சதுர வலைச்சட்டத்துக்குள் மொத்தம் 36 வெவ்வேறு செவ்வகங்கள் உள்ளன. இதேபோல ஒரு n×n சதுர வலைச்சட்டத்துக்குள் அமையும் வெவ்வேறு சதுரங்களின் மொத்த எண்ணிக்கை n -ஆம் சதுர பிரமிடு எண்ணாக இருக்கும்.

நிறுவல்கள்

ஒரு தொடரில் உள்ள ஒவ்வொரு கன எண்ணையும் அடுத்தடுத்த ஒற்றை எண்கள் தொகுப்பாக விரித்தெழுவதன் மூலம் ஒரு எளிய தருவித்தலை வீட்ஸ்டோன் (1854) தந்துள்ளார்:

1 + 8 + 27 + 64 + 125 + ...

  = (1) + (3 + 5) + (7 + 9 + 11) + (13 + 15 + 17 + 19) + (21 + 23 + 25 + 27 + 29) + ...

  = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 + 27 + 29 ...

ஒன்றிலிருந்து ஆரம்பித்து அடுத்தடுத்த ஒற்றை எண்களின் தொகுப்புகளின் உறுப்புகளின் மொத்தக் கூடுதல் ஒரு வர்க்கமாக இருக்கும். இந்த வர்க்கமானது கூட்டப்படும் தொகுப்புகளிலுள்ள ஒற்றை எண்களின் எண்ணிக்கையின் வர்க்கமாகும்.

எடுத்துக்காட்டாக:

(1)+ (3 + 5) = 9 = 3 ²

(1)+ (3 + 5) + (7+9+11) = 36 = 6 ²......

ஸ்டெய்ன் (1971) ஒரு சதுர வலைக் சட்டத்துக்குள் அமையும் செவ்வகங்களின் மொத்த எண்ணிக்கையாக இவ்வெண்களைப் பயன்படுத்தி முற்றொருமையின் வடிவகணித விளக்கத்தைத் தந்துள்ளார். மேலும் பல நிறுவல்கள், டோபிளிட்ஸ் (1963), கானிம் (2004), பெஞ்சமின், ஓரிசன் (2002) மற்றும் நெல்சென் (1993) ஆகிய கணிதவியலாளர்களால் தரப்பட்டுள்ளன.

வெளி இணைப்புகள்

• Weisstein, Eric W., "Nicomachus's Theorem", MathWorld.
• A visual proof of Nicomachus's Theorem பரணிடப்பட்டது 2017-01-29 at the வந்தவழி இயந்திரம்