இணையியச் சிக்கலெண் மூலத் தேற்றம்

கணிதத்தில் இணையியச் சிக்கலெண் மூலத் தேற்றத்தின்படி (complex conjugate root theorem), மெய்யெண் கெழுக்களுடன், ஒரு மாறியில் அமைந்த பல்லுறுப்புக்கோவையின் ஒரு மூலம் சிக்கலெண்ணாக இருந்தால், அச் சிக்கலெண்ணின் இணையியமும் அதற்கு இன்னொரு மூலமாக இருக்கும்.

தேற்றத்தின் கூற்று

மெய்யெண் கெழுக்களுடன், ஒரு மாறியில் அமைந்த பல்லுறுக்கோவை P எனில்:

a + bi என்ற சிக்கலெண் இப் பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு ஒரு மூலம் எனில். அதன் இணையியச் சிக்கலெண்ணான a − bi ம், P இன் மற்றொரு மூலமாகும்.

இத் தேற்றத்தின் வாயிலாக, பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கு சிக்கெண் மூலங்கள் இருந்தால் அவை இணையியச் சிக்கலெண் சோடியாகத்தான் இருக்கும் என்பதையும், பல்லுறுப்புக்கோவையின் படி ஒற்றையெண்ணாக இருந்தால் அதற்கு குறைந்தபட்சம் ஒரு மெய்யெண் மூலமாவது இருக்கும் என்பதையும் அறிந்து கொள்ளலாம் (இரண்டாவது முடிவை இடைநிலை மதிப்புத் தேற்றத்தைக் கொண்டும் நிறுவலாம்).

எடுத்துக்காட்டுகள்

• $x^{2}+1=0$

$x^{2}+1=(x+i)(x-i)$

ஃ மூலங்கள்: $\pm i\,$

• $x^{2}-4x+5=0$

$x^{2}-4x+5=(x-{\overline {2+i}})(x-{\overline {2-i}})$

ஃ மூலங்கள்: $2\pm i\,$

• $x^{3}-3x^{2}+4x-2=0$

$x^{3}-3x^{2}+4x-2=(x-1)(x^{2}-2x+2)=(x-1)(x-{\overline {1+i}})(x-{\overline {1-i}})$

ஃ மூலங்கள்: $1,\,1\pm i\,$

இந்த எடுத்துக்காட்டிலுள்ள பல்லுறுப்புக்கோவையின் படி (3) ஒற்றையெண்ணாக உள்ளது. மேலும், மூன்று தீர்வுகளில் இரண்டு இணையியச் சிக்கலெண்களாகவும் ஒன்று மெய்யெண்ணாகவும் இருப்பதைக் காணலாம்.

விளைவுகள்

• எந்தவொரு ஒற்றையெண் படியுடைய, மெய்யெண் சதுர அணியும் குறைந்தபட்சம் ஒரு ஐகென் மதிப்பாவது கொண்டிருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டாக, செங்குத்து அணியின் ஐகென் மதிப்புகள் 1 அல்லது −1 ஆகும்.

• பல்லுறுப்புக்கோவைகளில், மெய்யெண்ணல்லாத காரணிகள் சோடிகளாக அமைகின்றன; மேலும் அவற்றைப் பெருக்கினால் மெய்யெண் கெழுக்களைக் கொண்ட இருபடிப் பல்லுறுப்புக்கோவை கிடைக்கிறது. சிக்கலெண் கெழுக்களையுடைய பல்லுறுப்புக்கோவைகளை முதற்படிக் காரணிகளாகக் காரணியாக்கம் செய்யலாம் என்பதால்,

மெய்யெண் கெழுக்களுடைய ஒவ்வொரு பல்லுறுப்புக்கோவையும் காரணியாக்கம் செய்யப்படும்போது அக் காரணிகளின் படியானது அதிகபட்சம் இரண்டுக்கு மேலானதாக இருக்காது. அதாவது, அக் காரணிகள் முதற்படிக் காரணிகளாகவோ அல்லது இருபடிக் காரணிகளாகவோ மட்டுமே அமையும்.

எடுத்துக்காட்டு

பல்லுறுப்புக்கோவை $x^{3}-7x^{2}+41x-87\,$ இன் மூலங்கள்:

$3,\,2+5i,\,2-5i,$

காரணிகளின் வடிவில்:

$(x-3)(x-2-5i)(x-2+5i).\,$

கடைசி இரு காரணிகளையும் பெருக்கிச் சுருக்கக் கிடைப்பது:

$(x-3)(x^{2}-4x+29).\,$ (சோடியாக அமையும் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் மெய்யெண்ணல்லாத காரணிகள் இரண்டும் பெருக்கப்படும்போது, மெய்யெண் கெழுக்களுடைய இருபடி பல்லுறுப்புக்கோவை கிடைக்கிறது)

எளிய நிறுவல்

இத் தேற்றத்தின் ஒரு நிறுவல்:

$P(z)=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+\cdots +a_{n}z^{n}$ (இங்கு a_r அனைத்தும் மெய்யெண்கள்)

P இன் ஒரு மூலம் சிக்கலெண் ζ (P(ζ) = 0) எனில், அதன் இணையியச் சிக்கலெண் $P({\overline {\zeta }})$ மற்றொரு மூலம் என்பதை நிறுவ வேண்டும். அதாவது $P({\overline {\zeta }})=0$ எனக் காட்ட வேண்டும்.

P(ζ) = 0 எனில்,

$a_{0}+a_{1}\zeta +a_{2}\zeta ^{2}+\cdots +a_{n}\zeta ^{n}=0\,$

இதனைப் பின்வருமாறு எழுதலாம்:

$\sum _{r=0}^{n}a_{r}\zeta ^{r}=0.\quad (1)$

நிறுவல்

$P({\overline {\zeta }})=\sum _{r=0}^{n}a_{r}\left({\overline {\zeta }}\right)^{r}$

$=\sum _{r=0}^{n}a_{r}\left({\overline {\zeta }}\right)^{r}=\sum _{r=0}^{n}a_{r}{\overline {\zeta ^{r}}}=\sum _{r=0}^{n}{\overline {a_{r}\zeta ^{r}}}={\overline {\sum _{r=0}^{n}a_{r}\zeta ^{r}}}={\overline {0}}=0.$ (இணையியச் சிக்கலெண்களின் பண்புகள் மற்றும் சமன்பாடு (1) களின்படி)

அதாவது,

$P({\overline {\zeta }})=a_{0}+a_{1}{\overline {\zeta }}+a_{2}\left({\overline {\zeta }}\right)^{2}+\cdots +a_{n}\left({\overline {\zeta }}\right)^{n}=0.$