இணையிய இடமாற்று அணி

கணிதத்தில் சிக்கலெண் உறுப்புகளைக் கொண்ட ஒரு அணியின் இணையிய இடமாற்று அணி அல்லது இணை இடமாற்று அணி (conjugate transpose) என்பது அந்த அணியை முதலில் இடமாற்றிக்கொண்டு, அதன் பின்னர் அந்த இடமாற்று அணியின் ஒவ்வொரு உறுப்பையும் அதன் இணைச் சிக்கலெண்ணால் பதிலிடக் கிடைக்கும் அணியாகும். A அணியின் இணையிய இடமாற்றின் குறியீடு A^* ஆகும். இவ்வணியானது ஹெர்மைட் இடமாற்று அணி (Hermitian transpose) எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.

A என்பது சிக்கலெண் உறுப்புகளுடைய ஒரு m x n அணி எனில் அதன் இணையிய இடமாற்று அணி A^* ஆனது, A இன் இடமாற்று அணியான A^T இன் ஒவ்வொரு உறுப்பையும் அதற்குரிய இணைச் சிக்கலெண்ணைக் கொண்டு பதிலிட்டுப் பெறப்படுகிறது. A^* இன் வரிசை n x m ஆக இருக்கும்.

$({\boldsymbol {A}}^{*})_{ij}={\overline {{\boldsymbol {A}}_{ji}}}$

இதில் கீழொட்டுகள் i,j-ஆவது உறுப்பையும் (1 ≤ i ≤ n , 1 ≤ j ≤ m) தொகுப்புக் கோடு இணைச் சிக்கலெண்ணையும் குறிக்கும். ( a , b மெய்யெண்கள் எனில், சிக்கலெண் $a+bi$ இன் இணைச் சிக்கலெண் $a-bi$)

இதனைப் பின்வருமாறும் குறிக்கலாம்:

${\boldsymbol {A}}^{*}=({\overline {\boldsymbol {A}}})^{\mathrm {T} }={\overline {{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }}}$

A இன் இடமாற்று அணி ${\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }\,\!$

A இன் இணையிய அணி ${\overline {\boldsymbol {A}}}\,\!$

இணையிய இடமாற்று அணியின் பிற குறியீடுகள்:

• ${\boldsymbol {A}}^{*}\,\!$ , ${\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }\,\!$ (நேரியல் இயற்கணிதம்)
• ${\boldsymbol {A}}^{\dagger }\,\!$ (குவாண்டம் இயங்கியல்)
• ${\boldsymbol {A}}^{+}\,\!$

சில இடங்களில் ${\boldsymbol {A}}^{*}\,\!$ என்பது இணைச் சிக்கலெண்களால் பதிலிடப்பட்ட அணியைக் குறிப்பதற்கும், இணையிய இடமாற்று அணியைக் குறிப்பதற்கு ${\boldsymbol {A}}^{*\mathrm {T} }\,\!$ அல்லது ${\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} *}\,\!$ குறியீடுகளும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

எடுத்துக்காட்டு

${\boldsymbol {A}}={\begin{bmatrix}1&-2-i\\1+i&i\end{bmatrix}}$

இதன் இணையிய இடமாற்று அணி:

${\boldsymbol {A}}^{*}={\begin{bmatrix}1&1-i\\-2+i&-i\end{bmatrix}}$

சில குறிப்புகள்

$a_{ij}$ உறுப்புகளைக் கொண்ட சதுர அணி A.

• A = A^∗ (அதாவது $a_{ij}={\overline {a_{ji}}}$ ) எனில், A ஒரு ஹெர்மைட் அணி அல்லது தன்சேர்ப்பு அணி ஆகும்.
• A = - A^∗ (அதாவது $a_{ij}=-{\overline {a_{ji}}}$ ) ஆக இருந்தால் A ஒரு எதிர்-ஹெர்மைட் அணி ஆகும்.
• A^∗A = AA^∗ எனில், A ஒரு இயல்நிலை அணியாகும்.
• A^∗ = A⁻¹ எனில், A ஒரு அலகுநிலை அணியாகும்.

A சதுர அணி இல்லையென்றாலும் A^∗A , AA^∗ இரண்டும் ஹெர்மைட் அணிகளாக இருக்கும்.

ஒரு மெய்யெண்ணின் இணை எண் அதே மெய்யெண்ணாக இருக்கும் என்பதால், மெய்யெண்களாலான அணி A இன் இடமாற்று அணியும் இணையிய இடமாற்று அணியும் ஒன்றாகும்.

பண்புகள்

• A , B இரண்டும் சமவரிசையுள்ள அணிகள் எனில்:

(A + B)^∗ = A^∗ + B^∗

• r ஒரு சிக்கலெண்; A ஒரு m x n அணி எனில்:

(rA)^∗ = rA^∗

• A ஒரு m x n அணி, B ஒரு n x p அணி எனில்:

(AB)^∗ = B^∗A^∗

• A ஒரு n x n அணி எனில்:

(A^∗)^∗ = A

• A ஒரு சதுர அணி எனில்:

det(A^∗) = (det A)^∗

tr(A^∗) = (tr A)^∗.

• A^∗ நேர்மாற்றத்தக்கதாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, A நேர்மாற்றத்தக்கதாக இருக்கும்; மேலும்

(A^∗)⁻¹ = (A⁻¹)^∗.

• A^∗ இன் ஐகென் மதிப்புகள், A இன் ஐகென் மதிப்புகளின் இணைச் சிக்கலெண்களாக இருக்கும்.

வெளியிணைப்புகள்

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Adjoint matrix", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104
• Weisstein, Eric W., "Conjugate Transpose", MathWorld.
• Conjugate transpose பிளாநெட்மேத்தில்