இயல்நிலை அணி

கணிதத்தில் ஒரு சதுர அணியையும் அதன் இணையிய இடமாற்று அணியையும் பெருக்குதல் பரிமாற்றுத்தன்மை உடையதானால் அச்சதுர அணி இயல்நிலை அணி (normal matrix) எனப்படும்.

சதுர அணி A ஒரு இயல்நிலை அணி எனில்:

$A^{*}A=AA^{*}$, A^∗ என்பது A இன் இணையிய இடமாற்று அணி.

மெய்யெண் உறுப்புகளுடைய ஒரு சதுர அணியின் ஒவ்வொரு உறுப்பின் இணையிய எண்ணும் அதே உறுப்பாக இருக்குமென்பதால் அச்சதுர அணியும் அதன் இடமாற்று அணியும் ஒன்றாக இருக்கும். எனவே மெய்யெண் உறுப்புகள் கொண்ட சதுர அணிகள் எல்லாம் இயல்நிலையானவை.

மெய்யெண் உறுப்புகள் கொண்ட சதுர அணி A எனில்:

A^∗ = A^T

எனவே A^TA = AA^T என்பது உண்மையாகும். அதாவது A ஒரு இயல்நிலை அணி.

சிறப்பு வகைகள்

சிக்கலெண் அணிகளில் அனைத்து அலகுநிலை அணிகள், ஹெர்மைட் அணிகள், எதிர்-ஹெர்மைட் அணிகள்]] ஆகியவை இயல்நிலையானவை. மெய்யெண் அணிகளில் செங்குத்து அணிகள், சமச்சீர் அணிகள் எதிர் சமச்சீர் அணி ஆகியவை இயல்நிலை அணிகள். எனினும் எல்லா இயல்நிலை அணிகளும் அலகுநிலை அணிகளாகவோ அல்லது ஹெர்மைட் அணிகளாகவோ இருக்காது.

எடுத்துக்காட்டு:

$A={\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\1&0&1\end{pmatrix}}$

$AA^{*}={\begin{pmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{pmatrix}}=A^{*}A.$

எனவே இது ஒரு இயல்நிலை அணி. ஆனால் அது அலகுநிலை அணியோ அல்லது ஹெர்மைட்/எதிர் ஹெர்மைட் அணியோ கிடையாது.

விளைவுகள்

• ஒரு இயல்நிலை முக்கோண அணியானது மூலைவிட்ட அணியாக இருக்கும்.

• A = UΛU ^∗ என்பதை நிறைவு செய்யும் மூலைவிட்ட அணி Λ மற்றும் அலகுநிலை அணி U ஆகியவை இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, A ஒரு இயல்நிலை அணியாக இருக்கும்.

• ஒரு இயல்நிலை அணியின் ஐகென் மதிப்புகள் எல்லாம் மெய்யெண்களாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே அந்த இயல்நிலை அணி ஒரு ஹெர்மைட் அணியாக இருக்கும்.

• பொதுவாக இரு இயல்நிலை அணிகளின் கூட்டல் அணியும் பெருக்குத்தொகை அணியும் இயல்நிலை அணிகளாக இருக்காது. எனினும் கீழ்வருமாறும் அமையும்:

A , B இரண்டும் இயல்நிலை அணிகளாகவும் AB = BA ஆகவும் இருந்தால்

AB , A + B இரண்டும் இயல்நிலை அணிகளாக இருக்கும்.

UAU ^∗ , UBU ^∗ இரண்டும் மூலைவிட்ட அணிகளாக இருக்கும் வகையில் U எனும் ஒரு அலகுநிலை அணி இருக்கும்.

மேற்கோள்கள்

• Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1985), Matrix Analysis, கேம்பிறிட்ஜ் பல்கலைக்கழகப் பதிப்பகம், பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-0-521-38632-6.
• Weisstein, Eric W. "Normal Matrix." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/NormalMatrix.html