அலகுநிலை செவ்விய எண்

கணிதத்தில் அலகுநிலை செவ்விய எண் அல்லது அலகுநிலை நிறைவெண் (unitary perfect number) என்பது, அதன் நேர்ம தகு அலகுநிலை வகுஎண்களின் கூட்டுத்தொகைக்குச் சமமாகவுள்ளதொரு முழுவெண்ணாகும் (ஒரு எண்ணின் தகுவகுஎண்கள் என்பது அதே எண் நீங்கலான அதன் பிற வகுஎண்களைக் குறிக்கும். d , n/d இரண்டுக்கும் 1 ஐத் தவிர வேறு பொதுக்காரணிகள் இல்லையெனில் d ஆனது n இன் அலகுநிலை வகுஎண்ணாகும்).

சிலசெவ்விய எண்கள், அலகுநிலை செவ்விய எண்களாக இருப்பதில்லை; அதேபோல் சில அலகுநிலை செவ்விய எண்கள் செவ்விய எண்களாக இருப்பதில்லை.

அறியப்பட்டுள்ளவை

ஐந்து அலகுநிலை செவ்விய எண்களே அறியப்பட்டுள்ளன. அவை (OEIS-இல் வரிசை A002827)

6=2\times 3

,

60=2^{2}\times 3\times 5

,

90=2\times 3^{2}\times 5

,

87360=2^{6}\times 3\times 5\times 7\times 13

,

146361946186458562560000=2^{18}\times 3\times 5^{4}\times 7\times 11\times 13\times 19\times 37\times 79\times 109\times 157\times 313

.

இவற்றின் அலகுநிலை தகுவகுஎண்களின் கூட்டுத்தொகைகள்:

6 = 1 + 2 + 3 = 6
60 = 1 + 3 + 4 + 5 + 12 + 15 + 20 = 60
90 = 1 + 2 + 5 + 9 + 10 + 18 + 45 = 90
87360 = 1 + 3 + 5 + 7 + 13 + 15 + 21 + 35 + 39 + 64 + 65 + 91 + 105 + 192 + 195 + 273 + 320 + 448 + 455 + 832 + 960 + 1344 + 1365 + 2240 + 2496 + 4160 + 5824 + 6720 + 12480 + 17472 + 29120 = 87360
146361946186458562560000 = 1 + 3 + 7 + 11 + ... + 13305631471496232960000 + 20908849455208366080000 + 48787315395486187520000 (இக்கூட்டுத்தொகையில் 4095 வகுஎண்கள் உள்ளன.) = 146361946186458562560000

பண்புகள்

ஒற்றை அலகுநிலை செவ்விய எண்கள் எதுவும் இல்லை.

n ஓர் ஒற்றை எண் என்க. அதன் அலகுநிலை வகுஎண்களின் கூட்டுதொகையை 2^d*(n) வகுக்கும் (d*(n) என்பது n இன் வெவ்வேறான பகாக் காரணிகளின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கிறது). இதற்குக் காரணமாக, அனைத்து அலகுநிலை வகுஎண்களின் கூட்டுத்தொகை ஒரு பெருக்கல் சார்பாகவும், p^a (p ஒரு பகா எண்) என்ற பகா அடுக்கின் அலகுநிலை வகுஎண்களின் கூட்டுத்தொகையான p^a + 1 என்பது இரட்டை எண்ணாகவும் இருக்குமென்பதும் அமைகின்றது. எனவே ஒரு ஒற்றை அலகுநிலை செவ்விய எண் இருக்குமானால் அதற்கு ஒரேயொரு பகாக் காரணிமட்டுமே இருக்கமுடியும்; மேலும், போதுமான வகுஎண்கள் இல்லாமையால் ஒரு பகாஎண்ணின் அடுக்கானது அலகுநிலை செவ்விய எண்ணாக இருக்காது என்பதை எளிதாகக் காட்டமுடியும்.

கண்டறியப்பட்ட 5 எண்கள் தவிர வேறு அலகுநிலை செவ்விய எண்கள் உள்ளனவா என்பதும் அவ்வாறு இருப்பின் அலகுநிலை செவ்விய எண்களின் தொடர்வரிசை முடிவற்றதா இல்லையா என்பதும் அறியப்படாமல் உள்ளது. ஆறாவதாக இருக்கக்கூடிய அலகுநிலை செவ்விய எண்ணின் ஒற்றைப் பகாக்காரணிகள் குறைந்தபட்சம் 9 ஆக இருத்தல் வேண்டும்.^[1]

மேற்கோள்கள்

↑ Wall, Charles R. (1988). "New unitary perfect numbers have at least nine odd components". Fibonacci Quarterly 26 (4): 312–317. பன்னாட்டுத் தர தொடர் எண்:0015-0517. https://archive.org/details/sim_fibonacci-quarterly_1988-11_26_4/page/312.

Richard K. Guy (2004). Unsolved Problems in Number Theory. இசுபிரிங்கர் பதிப்பகம். pp. 84–86. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-387-20860-7. Section B3.
Paulo Ribenboim (2000). My Numbers, My Friends: Popular Lectures on Number Theory. Springer-Verlag. p. 352. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-387-98911-0.
Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S.; Crstici, Borislav, eds. (2006). Handbook of number theory I. Dordrecht: இசுபிரிங்கர் பதிப்பகம். பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 1-4020-4215-9. Zbl 1151.11300.
Sándor, Jozsef; Crstici, Borislav (2004). Handbook of number theory II. Dordrecht: Kluwer Academic. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 1-4020-2546-7. Zbl 1079.11001.

[Wall1988-1] Wall, Charles R. (1988). "New unitary perfect numbers have at least nine odd components". Fibonacci Quarterly 26 (4): 312–317. பன்னாட்டுத் தர தொடர் எண்:0015-0517. https://archive.org/details/sim_fibonacci-quarterly_1988-11_26_4/page/312.

[1]