அலகுநிலை வகுஎண்
கணிதத்தில் ஒரு இயல் எண் a ஆனது மற்றொரு எண் b இன் அலகுநிலை வகுஎண்ணாக (unitary divisor, Hall divisor) இருக்கவேண்டுமானால், a ஆனது b இன் வகுஎண்ணாகவும் a, இரண்டும் சார்பகா எண்களாகவும் இருக்க வேண்டும் (அதாவது அவையிரண்டுக்கும் 1 ஐத் தவிர வேறு பொதுக்காரணி இருக்காது).
இந்த வரையறைக்குச் சமானமானதாக, "a இன் ஒவ்வொரு பகாக்காரணியின் மடங்கெண்ணும் அக்காரணிக்கு b இலுள்ள மடங்கெண்ணுக்குச் சமமாக "இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே" a ஆனது b இன் அலகுநிலை வகுஎண்ணாக இருக்கும்" எனக் கூறலாம்.
அலகுநிலை வகுஎண் என்ற கருத்துரு ஆர். வைத்தியநாதசாமி (1931) என்பவரால் துவக்கப்பட்டது. இதற்கு அவர் பயன்படுத்திய பெயர் "தொகுதி வகுஎண்" (block divisor) ஆகும்.[1]
எடுத்துக்காட்டு
தொகு- 60 இன் அலகுநிலை வகுஎண் 5. ஏனெனில்:
- இரண்டும் சார்பகா எண்கள். அதாவது அவற்றின் ஒரேயொரு பொதுக்காரணி 1.
மாறாக 6 ஐ எடுத்துக்கொண்டால் அது 60 இன் வகுஎண் மட்டுமே; அலகுநிலை வகுஎண்ணல்ல. ஏனெனில்:
- இரண்டிற்கு 1 ஐத் தவிர மற்றொரு பொதுக்காரணி 2 உள்ளது.
பண்புகள்
தொகு- ஒவ்வொரு இயல் எண்ணுக்கும் 1, ஒரு அலகுநிலை வகுஎண்ணாகும்.
- n இன் அலகுநிலை வகுஎண்களின் எண்ணிக்கை = 2k, இதில் k ஆனது, n இன் வெவ்வேறான பகாக் காரணிகளின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கிறது.
- n ஆனது இரண்டின் அடுக்காக (1 உட்பட) இருந்தால், அதன் அலகுநிலை வகுஎண்களின் கூட்டுத்தையானது ஒற்றையெண்ணாகவும்,
- n ஆனது இரண்டின் அடுக்காக இல்லாவிட்டால், அதன் அலகுநிலை வகுஎண்களின் கூட்டுத்தையானது டைரட்டையெண்ணாக இருக்கும்.
- n இன் அலகுநிலை வகுஎண்களின் எண்ணிகையும் கூட்டுத்தொகையும் பெருக்கல் சார்புகளாக இருக்கும். ஆனால் அவை முழுமையான பெருக்கல் சார்புகளாக இருக்காது. டிரிழ்ச்லெட்டின் பிறப்பிக்கும் சார்பு:
- n ஒரு வர்க்கக்காரணியற்ற முழுஎண்ணாக "இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே", n இன் ஒவ்வொரு வகுஎண்ணும் அலகுநிலை வகுஎண்ணாக இருக்கும்.
ஒற்றை அலகுநிலை வகுஎண்கள்
தொகுஒற்றை அலகுநிலை வகுஎண்களின் k-ஆவது அடுக்குகளின் கூட்டுத்தொகை:
இதுவும் ஒரு பெருக்கல் சார்பாக இருக்கும்; மேலும் இதன் டிரிழ்ச்லெட்டின் பிறப்பிக்கும் சார்பு:
அலகுநிலை வகுஎண்களின் கூட்டுத்தொகை
தொகுஅலகுநிலை வகுஎண்-கூட்டுதொகைச் சார்பின் குறியீடு: σ*(n); அலகுநிலை வகுஎண்களின் k-ஆவது அடுக்குகளின் கூட்டுத்தொகையின் குறியீடு: σ*k(n):
ஒரு எண்ணின் தகு வகுஎண்களின் கூட்டுத்தொகையானது அதே எண்ணாக இருக்குமானால், அந்த எண் அலகுநிலை செவ்விய எண் அல்லது அலகுநிலை நிறைவெண் என அழைக்கப்படும்.
நேரிணைய எண்வரிசை கலைக்களஞ்சியத் தொடர்வரிசைகள்
தொகுகுறிப்புகள்
தொகு- ↑ R. Vaidyanathaswamy (1931). "The theory of multiplicative arithmetic functions". Transactions of the American Mathematical Society 33 (2): 579-662. doi:10.1090/S0002-9947-1931-1501607-1.
மேற்கோள்கள்
தொகு- Richard K. Guy (2004). Unsolved Problems in Number Theory. இசுபிரிங்கர் பதிப்பகம். p. 84. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-387-20860-7. Section B3.
- Paulo Ribenboim (2000). My Numbers, My Friends: Popular Lectures on Number Theory. Springer-Verlag. p. 352. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-387-98911-0.
- Cohen, Eckford (1959). "A class of residue systems (mod r) and related arithmetical functions. I. A generalization of Möbius inversion". Pacific J. Math. 9 (1): 13–23. doi:10.2140/pjm.1959.9.13.
- Cohen, Eckford (1960). "Arithmetical functions associated with the unitary divisors of an integer". Mathematische Zeitschrift 74: 66–80. doi:10.1007/BF01180473.
- Cohen, Eckford (1960). "The number of unitary divisors of an integer". American Mathematical Monthly 67 (9): 879–880. doi:10.2307/2309455. https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1960-11_67_9/page/879.
- Cohen, Graeme L. (1990). "On an integers' infinitary divisors". Math. Comp. 54 (189): 395–411. doi:10.1090/S0025-5718-1990-0993927-5. Bibcode: 1990MaCom..54..395C.
- Cohen, Graeme L. (1993). "Arithmetic functions associated with infinitary divisors of an integer". Int. J. Math. Math. Sci. 16 (2): 373–383. doi:10.1155/S0161171293000456.
- Finch, Steven (2004). "Unitarism and Infinitarism" (PDF).
- Ivić, Aleksandar (1985). The Riemann zeta-function. The theory of the Riemann zeta-function with applications. A Wiley-Interscience Publication. New York etc.: John Wiley & Sons. p. 395. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-471-80634-X. Zbl 0556.10026.
- Mathar, R. J. (2011). "Survey of Dirichlet series of multiplicative arithmetic functions". arXiv:1106.4038 [math.NT]. Section 4.2
- Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S.; Crstici, Borislav, eds. (2006). Handbook of number theory I. Dordrecht: இசுபிரிங்கர் பதிப்பகம். பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 1-4020-4215-9. Zbl 1151.11300.
- Toth, L. (2009). "On the bi-unitary analogues of Euler's arithmetical function and the gcd-sum function". J. Int. Seq. 12. https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL12/Toth2/toth5.html.
வெளியிணைப்புகள்
தொகு- Weisstein, Eric W., "Unitary Divisor", MathWorld.
- Mathoverflow | Boolean ring of unitary divisors