பொது மடக்கை

கணிதத்தில் பொது மடக்கை (common logarithm) என்பது 10 அடிமான மடக்கையாகும். பொது மடக்கையானது அதன் அடிமானத்தின் பெயரால் பதின்ம மடக்கை (decadic logarithm , decimal logarithm) என்றும், இம்மடக்கையின் முன்னோடியான ஆங்கிலக் கணிதவியலாளர் ஹென்றி பிரிக்சின் பெயரால் பிரிக்சிய மடக்கை (Briggsian logarithm) என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. log₁₀(x) அல்லது Log(x) எனப் பொது மடக்கைக் குறிக்கப்படுகிறது. வழக்கமாக இது கணிப்பான்களில் "log" என்று குறிப்பிடப்பட்டிருக்கும். ஆனால் கணிதவியலாளர்கள் இயல் மடக்கையைத்தான் (அடிமானம் e ≈ 2.71828) "log" எனக் குறிக்கின்றனர். இக்குழப்பத்தைத் தவிர்ப்பதற்காக log₁₀(x) என்பதை lg (x) எனவும், log_e(x) என்பதை ln (x) எனவும் எழுத வேண்டுமென ISO 31-11 இன்படி பரிந்துரைக்கப்பட்டுள்ளது.

பயன்கள்

பொது மடக்கை அட்டவணையின் ஒரு பக்கம். இப்பக்கத்தில் 1000 -1500 வரையிலான எண்களின் பொது மடக்கை ஐந்து தசம இலக்கங்கள் வரை காட்டப்பட்டுள்ளது. முழு அட்டவணையில் 9999 எண்ணின் மடக்கை வரை தரப்பட்டுள்ளது.

1970 களின் துவக்கத்திற்கு முன்பு கையடக்க மின் கணிப்பான்கள் அறிமுகமாகாத நிலையில், பெருக்கலைச் செய்யக்கூடிய எந்திரக் கணிப்பான்கள் விலை அதிகமானதாகவும், அளவில் பெரியதாகவும் இருந்ததோடு பரவலாகக் கிடைக்கக்கூடியதாகவும் இல்லை. இதனால் அறிவியல், பொறியியல் மற்றும் வழிச் செலுத்தல் போன்ற துறைகளில், நழுவுச் சட்டத்தைப் பயன்படுத்துவதால் பெறக்கூடியதைவிடத் துல்லிய கணக்கிடுதல்களுக்கு பொது மடக்கை அட்டவணைகள் பயன்படுத்தப்பட்டன. மடக்கையைப் பயன்படுத்திக் கணக்கிடுதலால், சாதாரண முறையில் பெருக்கல் மற்றும் வகுத்தலைச் செய்யும்போது ஏற்படக்கூடிய பிழைகள் நேர வாய்ப்புகள் குறையும். மடக்கை மிகவும் பயனுள்ளதாகையால், பல பாடப் புத்தகங்களில் பொது மடக்கை அட்டவணைகள் இணைக்கப்பட்டுள்ளன. கணித மற்றும் வழிச்செலுத்தல் கையேடுகள் முக்கோணவியல் சார்புகளின் மடக்கை அட்டவணைகளைக் கொண்டுள்ளன.^[1]

எண் ஒன்றைவிடப் பெரியதாகவும் பத்தின் அடுக்குகளில் வித்தியாசப்படுவதாகவும் அமையும் முழுஎண்கள் அனைத்தின் பொது மடக்கையின் பின்னப்பகுதிகளும் சமமானதாக இருப்பதே பொது மடக்கையைக் கணக்கிடுதலில் மிகவும் பயனுள்ளதாக்கும் முக்கியமான பண்பாகும். இப்பின்னப்பகுதி பதின்மானக்கூறு (mantissa) எனப்படுகிறது.^{[note 1]} இப்பண்பினால் பொது மடக்கை அட்டவணையின் பின்னப்பகுதி மட்டுமே தரப்பட்டுள்ளன. பொது மடக்கை அட்டவணைகளில் குறிப்பிட்ட வீச்சிலான (எடுத்துக்காட்டாக, 1000 முதல் 9999 வரை) முழுஎண்களின் பொது மடக்கைகளின் பின்னப்பகுதிகள் நான்கு அல்லது ஐந்து அல்லது அதற்கும் மேற்பட்ட தசம இலக்கங்களுக்கு பட்டியிலிடப்படுகின்றன.

பொது மடக்கை காணவேண்டிய முழுஎண்ணிலுள்ள தசமப் புள்ளியானது அவ்வெண்ணின் முதல் பொருளுள்ள இலக்கத்திற்கு வலப்புறம் அமைவதற்கு அப்புள்ளியை எத்தனை இடங்களுக்கு நகர்த்த வேண்டுமென்பதைக் கொண்டு பொது மடக்கையின் முழுஎண் பகுதியான நேர்க்கூறு (characteristic) கணக்கிடப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டாக 120 இன் மடக்கை:

\log _{10}120=\log _{10}(10^{2}\times 1.2)=2+\log _{10}1.2\approx 2+0.07918.

120 இன் பொது மடக்கையின் பதின்மானக் கூறு 0.07918 மடக்கை அட்டவணையிலிருந்து பெறப்படுகிறது; அதன் நேர்க்கூறு 2.

பூச்சியத்தைவிடப் பெரிய ஆனால் ஒன்றைவிடச் சிறிய எண்களின் பொது மடக்கை எதிர்ம எண்ணாக இருக்கும். எடுத்துக்காட்டாக,

\log _{10}0.012=\log _{10}(10^{-2}\times 1.2)=-2+\log _{10}1.2\approx -2+0.07918=-1.92082

நேர்ம மற்றும் எதிர்ம பொது மடக்கைகளுக்கான மூல எண்ணைப் பெறுவதற்காக தனித்தனியான அட்டவணைகளின் அவசியதைத் தவிர்ப்பதற்காக கிடைக்கோட்டுக் குறியீடு பயன்படுத்தப்படுகிறது:

\log _{10}0.012\approx -2+0.07918={\bar {2}}.07918

நேர்க்கூறின் மீதுள்ள கிடைக்கோடு, நேர்க்கூறு எதிர்மம் என்பதைக் குறிக்கிறது; பதின்மானக்கூறு நேர்ம்மாகும்.

எடுத்துக்காட்டு:

0.012 × 0.85 = 0.0102: ${\begin{array}{rll}\log _{10}0.012\approx {\bar {2}}.07918\\\log _{10}0.85&=\log _{10}(10^{-1}\times 8.5)=-1+\log _{10}8.5&\approx -1+0.92942={\bar {1}}.92942\;\\\log _{10}(0.012\times 0.85)&=\log _{10}0.012+\log _{10}0.85&\approx {\bar {2}}.07918+{\bar {1}}.92942\\&=(-2+0.07918)+(-1+0.92942)&=-(2+1)+(0.07918+0.92942)\\&=-3+1.00860&=-2+0.00860\;^{*}\\&\approx \log _{10}(10^{-2})+\log _{10}(1.02)&=\log _{10}(0.01\times 1.02)\\&=\log _{10}(0.0102)\end{array}}$

* என்ற குறியிட்ட படிநிலையில் எதிர்மடக்கை காணும் வசதிக்காக பதின்மானக்கூறின் மதிப்பு 0-1 ஆக இருக்குமாறு மாற்றப்பட்டுள்ளது.

பத்தின் அடுக்குகளில் மதிப்பு வேறுபாடுடைய அனைத்து எண்களுக்கும் எவ்வாறு ஒரே பதின்மானக்கூறு அமைகிறது என்பதைக் கீழுள்ள அட்டவணை விளக்குகிறது:

பொது மடக்கை, நேர்க்கூறு, பதின்மானக்கூறு
எண்	மடக்கை	நேர்க்கூறு	பதின்மானக்கூறு	இணைந்த வடிவம்
n (= 5 × 10ⁱ)	log₁₀(n)	i (= floor(log₁₀(n)) )	log₁₀(n) − நேர்க்கூறு
5 000 000	6.698 970...	6	0.698 970...	6.698 970...
50	1.698 970...	1	0.698 970...	1.698 970...
5	0.698 970...	0	0.698 970...	0.698 970...
0.5	−0.301 029...	−1	0.698 970...	1.698 970...
0.000 005	−5.301 029...	−6	0.698 970...	6.698 970...

அனைத்து 5×10ⁱ வடிவ எண்களின் பதின்மானக்கூறு ஒரே எண்ணாக அமைவதைக் காணலாம். $\log _{10}(x\times 10^{i})=\log _{10}(x)+\log _{10}(10^{i})=\log _{10}(x)+i$ என்பதால் இவ்வுண்மை எந்தவொரு நேர்ம மெய்யெண்ணுக்கும் பொருந்தும். $i$ எப்பொழுதும் முழுஎண் என்பதால் நேர்க்கூறு $\log _{10}(x)$ ஆக இருக்கும். எனவே தரப்பட்ட ஒரு $x$ க்கு, நேர்க்கூறு $\log _{10}(x)$ மாறாது. இதனால் பொது மடக்கை அட்டவணைகளில் ஒவ்வொரு நேர்க்கூறும் ஒருமுறை மட்டுமே தரப்பட்டுள்ளது. மேலுள்ள 5×10ⁱ எடுத்துக்காட்டில் 5, அல்லது 0.5, அல்லது 500 etc.. என சுட்டப்படும்போது 0.698 970 (004 336 018 ...) நேர்க்கூறாகக் கிடைக்கும்.

நழுவு சட்டத்தின் மேலுள்ள அளவீட்டில், எண்கள் அவற்றின் மடக்கைகளின் வித்தியாசங்களின் விகிதப்படி குறிக்கப்பட்டுள்ளன. கீழ்ச் சட்டத்தில் 1-2 வரையிலான தூரத்தை மேற்சட்டத்தில் 1-3 வரையிலான தூரத்துடன் கூட்டி 2 x 3 = 6 என்பதை எளிதாகக் கணக்கிடலாம்.

வரலாறு

17 ஆம் நூற்றாண்டின் ஆங்கிலக் கணிதவியலாளர் ஹென்றி பிரிக்சின் பெயரால் பொது மடக்கையானது பிரிக்சிய மடக்கை ("Briggsian logarithms") என அழைக்கப்படுகிறது. 1616, 1617 களில் பிரிக்சு எடின்பரோவில் இயல் மடக்கையைக் கண்டறிந்த கணிதவியலாளர் நேப்பியரைச் சந்திந்து நேப்பியரின் மடக்கையில் மாற்றங்கள் செய்யும் கருத்தை முன்வைத்தார். நேப்பியரின் ஒப்புதல் பெற்று முதல் 1000 எண்களின் பொது மடக்கை அட்டவணையை வெளியிட்டார்.

பத்தடிமான மடக்கைகள் கணக்கிடுதலுக்கு மிகவும் பயனுள்ளதாக இருந்ததால் பொறியியலாளர்கள் log₁₀(x) என்பதை சுருக்கமாக "log(x)" என எழுதினர். ஆனால் கணிதவியலாளர்கள் e-அடிமான இயல் மடக்கை log_e(x) ஐ "log(x)" எனக் குறித்தனர். கையடக்க கணிப்பான்கள் பொறியியலாளர்களால் வடிவமைக்கப்படுவதால் அக்கணிப்பான்களில் பொது மடக்கையே "log(x)" எனக் குறிக்கப்படுகிறது. இயல் மடக்கை "ln(x)" எனக் குறிக்கப்படுகிறது.

குறிப்புகள்

↑ This use of the word mantissa stems from an older, non-numerical, meaning: a minor addition or supplement, e.g. to a text. Nowadays, the word mantissa is generally used to describe the fractional part of a floating point number on computers, though the recommended term is significand.

மேற்கோள்கள்

↑ E. R. Hedrick, Logarithmic and Trigonometric Tables (Macmillan, New York, 1913).

Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1972), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover Publications, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-0-486-61272-0
Michael Möser: Engineering Acoustics: An Introduction to Noise Control. Springer 2009, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-3-540-92722-8, p. 448 (restricted online copy, p. 448, கூகுள் புத்தகங்களில்)
A. D. Poliyanin, A. V. Manzhirov: Handbook of mathematics for engineers and scientists. CRC Press 2007, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-1-58488-502-3, p. 9 (restricted online copy, p. 9, கூகுள் புத்தகங்களில்)
Common Logarithm

வெளியிணைப்புகள்

Briggsian logarithms பிளாநெட்மேத்தில் includes a detailed example of using logarithm tables

[2] This use of the word mantissa stems from an older, non-numerical, meaning: a minor addition or supplement, e.g. to a text. Nowadays, the word mantissa is generally used to describe the fractional part of a floating point number on computers, though the recommended term is significand.

[1] E. R. Hedrick, Logarithmic and Trigonometric Tables (Macmillan, New York, 1913).

[1]

[note 1]