2 × 2 அணியின் வர்க்கமூலம்

2 x 2 அணியொன்றின் வர்க்கமூல அணியானது, (square root of a 2x2 matrix) மற்றொரு 2 x 2 அணியாகவும், மேலும் அதனை அதனோடு பெருக்கக் கிடைக்கும் அணி மூல அணியாகவும் அமையும்.

2 x 2 அணி R இன் வர்க்கமூல அணி M எனில், அது ஒரு 2 x 2 அணியாகவும் M = R² என்பதை நிறைவு செய்யும் அணியாகவும் இருக்கும்.

ஒரு 2 × 2 அணிக்கு வர்க்கமூலங்களே இல்லாமல் இருக்கலாம் அல்லது இரண்டு, நான்கு, ஆறு ... என இரட்டை எண்ணிக்கையிலான எண்ணற்ற வர்க்கமூலங்களும் இருக்கலாம். பூச்சியமற்ற இரு வெவ்வேறான ஐகென் மதிப்புகளைக் கொண்ட ஒரு 2 × 2 அணிக்கு நான்கு வர்க்கமூலங்கள் இருக்கும். ஒரு நேர்ம-வரைவு அணியின் வர்க்கமூலங்களில் ஒன்றுமட்டுமே நேர்ம-வரைவு அணியாக இருக்கும்.

எல்லா வரிசை அணிகளுக்கும் அவற்றின் வர்க்கமூலங்கள் சோடிகளாக அமையும். R என்பது M இன் ஒரு வர்க்கமூலம் எனில், –R உம் M இன் மற்றொரு வர்க்கமூலமாக இருக்கும் ((–R)(–R) = (–1)(–1)(RR) = R² = M).

வாய்பாடு

$M=\left({\begin{array}{cc}A&B\\C&D\end{array}}\right)$

A, B, C, D என்பன மெய்யெண்களாகவோ சிக்கலெண்களாகவோ இருக்கலாம்.

τ = A + D என்பது M இன் சுவடு.

δ = AD - BC என்பது M இன் அணிக்கோவை.

s என்பது s² = δ,

t என்பது t² = τ + 2s.

$s=\pm {\sqrt {\delta }},\quad \quad t=\pm {\sqrt {\tau +2s}}.$

t ≠ 0 எனில் M இன் வர்க்கமூல அணி:

$R={\frac {1}{t}}\left({\begin{array}{cc}A+s&B\\C&D+s\end{array}}\right).$

R இன் வர்க்கம் M ஆகவுள்ளதைக் காணலாம்:

${\begin{array}{rcl}R^{2}&=&\displaystyle {\frac {1}{t^{2}}}\left({\begin{array}{cc}(A+s)^{2}+BC&(A+s)B+B(D+s)\\C(A+s)+(D+s)C&(D+s)^{2}+BC\end{array}}\right)\\[3ex]{}&=&\displaystyle {\frac {1}{A+D+2s}}\left({\begin{array}{cc}A(A+D+2s)&(A+D+2s)B\\C(A+D+2s)&D(A+D+2s)\end{array}}\right)\;=\;M.\end{array}}$

M இன் உறுப்புகள் எல்லாம் மெய்யெண்களாக இருந்தாலும் R இன் உறுப்புகள் சிக்கலெண்களாகவும் இருக்கலாம். அணிக்கோவை δ இன் மதிப்பு எதிர்மமாக இருக்கும்போது இவ்வாறு அமையக்கூடும். s>0 , t>0 எனில் R நேர்மமாக இருக்கும்.

சிறப்பு நிலைகள்

• M ஒரு தன்னடுக்கு அணி அணியாக இருந்து (MM = M), அதேசமயம் முற்றொருமை அணியாக இல்லையெனில், அதன் அணிக்கோவை மதிப்பு பூச்சியமாகவும், அதன் சுவட்டின் மதிப்பும் தரமும் சமவளவினவையாக 1 ஆக இருக்கும் (பூச்சிய அணி தவிர்த்து). இந்நிலையில் மேலுள்ள வாய்பாட்டில் s = 0 $\tau$ = 1 ஆக அமையும். இதனால், அணி M இன் வர்க்கமூலங்களாக M , -M இரண்டு மட்டுமே கிடைக்கும்.

• s மற்றும் t இன் குறிகள் ஒவ்வொன்றைக்கும் நான்கு வெவ்வேறான வர்க்கமூலங்கள் (R) கிடைக்கும்.
• அணிக்கோவை δ இன் மதிப்பு பூச்சியமாகவும், சுவடு τ பூச்சியமற்றதாகவும் இருந்தால் மேற்படி வாய்ப்பாட்டின் மூலம் வெவ்வேறான இரு வர்க்கமூலங்கள் மட்டுமே கிடைக்கும்.
• δ பூச்சியமற்றதாகவும் τ² = 4δ எனவும் இருக்கும்போதும் வெவ்வேறான இரு வர்க்கமூலங்கள் மட்டுமே கிடைக்கும். இதில் s இன் ஏதேனும் ஒரு குறிக்கு வாய்பாட்டின் பகுதியான t இன் மதிப்பு பூச்சியமாகிவிடும்.
• δ , τ இரண்டின் மதிப்புகளும் பூச்சியமாக இருக்கும்போது மேற்காணும் வாய்பாடு பயனற்றதாகிவிடும். அதாவது, D = −A மற்றும் A² = −BC ஆக இருந்தால் அணிக்கோவை δ மற்றும் சுவடு τ இரண்டின் மதிப்பும் பூச்சியமாக இருக்கும். இந்நிலையில்

M ஒரு பூச்சிய அணியாக இருந்தால் (A = B = C = D = 0):

b , c இரண்டின் ஏதேனும் மெய்யெண் அல்லது சிக்கலெண் மதிப்புகளுக்கு

$R=\left({\begin{array}{cc}0&0\\c&0\end{array}}\right)\quad {\text{and}}\quad R=\left({\begin{array}{cc}0&b\\0&0\end{array}}\right)$ ஆகிய இரு வர்க்கமூலங்களோடு பூச்சிய அணியும் M இன் வர்க்கமூலமாக இருக்கும்.

மற்றபடி, M அணிக்கு வர்க்கமூலம் இருக்காது.

சிறப்புவகை அணிகளுக்கான வாய்பாடுகள்

மூலைவிட்ட அணி

M ஒரு மூலைவிட்ட அணியாக (B = C = 0) இருந்தால் கீழ்க்காணும் எளிதாக்கப்பட்ட வாய்ப்பாட்டின் மூலம் அதன் வர்க்கமூலத்தைக் காணலாம்:

$R=\left({\begin{array}{cc}a&0\\0&d\end{array}}\right)$

a = ±√A

d = ±√D

a , d இன் மதிப்புகளுக்கு எடுத்துக்கொள்ளப்படும் குறிகளைப் பொறுத்து, A மற்றும் D இரண்டில் எதுவுமே பூச்சியமில்லை அல்லது ஏதேனும் ஒன்று மட்டும் பூச்சியம் அல்லது இரண்டுமே பூச்சியம் எனில் முறையே, நான்கு அல்லது இரண்டு அல்லது ஒரு வெவ்வேறான வர்க்கமூல அணிகள் கிடைக்கும்.

முற்றொருமை அணி

2 × 2 முற்றொருமை அணி ${\bigl (}{\begin{smallmatrix}\\1&0\\0&1\end{smallmatrix}}{\bigr )}$ முடிவிலா எண்ணிக்கையிலான கீழ்வரும் சமச்சீர் விகிதமுறு வர்க்கமூலங்கள் கொண்டுள்ளது:

${\tfrac {1}{t}}{\bigl (}{\begin{smallmatrix}\\s&r\\r&-s\end{smallmatrix}}{\bigr )},$ ${\tfrac {1}{t}}{\bigl (}{\begin{smallmatrix}\\s&-r\\-r&-s\end{smallmatrix}}{\bigr )},$ ${\tfrac {1}{t}}{\bigl (}{\begin{smallmatrix}\\-s&r\\r&s\end{smallmatrix}}{\bigr )},$ ${\tfrac {1}{t}}{\bigl (}{\begin{smallmatrix}\\-s&-r\\-r&s\end{smallmatrix}}{\bigr )},$ ${\bigl (}{\begin{smallmatrix}\\1&0\\0&\pm 1\end{smallmatrix}}{\bigr )},$ and ${\bigl (}{\begin{smallmatrix}\\-1&0\\0&\pm 1\end{smallmatrix}}{\bigr )},$

(r, s, t) என்பன பித்தகோரசு மும்மைகளாகும். அதாவது, $r^{2}+s^{2}=t^{2}.$ என்ற முடிவை நிறைவு செய்யும் நேர்ம முழுஎண்களாகும். மேலும் $r^{2}+s^{2}=t^{2}$ முடிவை நிறைவு செய்யும் r, s, t -இன் முழுஎண்கள் அல்லாத விகிதமுறா, சிக்கலெண் மதிப்புகளும் முற்றொருமை அணியின் வர்க்கமூலங்களைத் தரும். முற்றொருமை அணிக்கு முடிவிலா எண்ணிக்கையிலான சமச்சீரற்ற வர்க்கமூலங்களும் உண்டு.

முதன்மையற்ற மூலைவிட்ட உறுப்பொன்றைப் பூச்சியமாகக்கொண்ட அணி

முதன்மையற்ற மூலைவிட்ட உறுப்பொன்றைப் பூச்சியமாகக்கொண்ட 2 x 2 அணி (B = 0; A , D ≠ 0) எனில் கீழ்வரும் வாய்ப்பாட்டின் மூலம் அதன் வர்க்கமூலம் காணலாம்:

$R=\left({\begin{array}{cc}a&0\\C/(a+d)&d\end{array}}\right).$

இவ்வாய்ப்பாட்டின் மூலம் A = D எனும்போது இரு வர்க்கமூலங்களும் மற்றபடி நான்கு வர்க்கமூலங்களும் கிடைக்கும். C = 0; A , D ≠ 0 எனும்போதும் இதுபோன்ற வாய்ப்பாட்டின் மூலம் வர்க்கமூலங்களைக் காணலாம்.