இணையியத் தொகுதி

கணிதத்தில், குறிப்பாக குலக்கோட்பாட்டில், ஒரு குலத்தில் $a,$ $b$ என்ற இரு உறுப்புகளுக்கு $b=gag^{-1}.$ என்பதை நிறைவு செய்யும் மற்றொரு உறுப்பு $g$ அதே குலத்தில் இருந்தால் $a,$ $b$ இரண்டும் ஒன்றுகொன்று இணையியம் (conjugate) ஆகும். ”இணைத்தல்” (conjugation) என்ற உறவு சமான உறவாகும். இவ்வுறவின் சமானத் தொகுதிகள் இணையியத் தொகுதிகள் (conjugacy classes) என அழைக்கப்படுகின்றன. இதனை, ஒவ்வொரு இணையியத் தொகுதியும் குலத்திலுள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பு $g$-க்கும் $b=gag^{-1}.$ செயலின்கீழ் அடைவுபெற்றுள்ளது என்றும் கூறலாம்.

இருமுகக் குலங்களின் இரண்டு கெய்லி வரைபடங்களும் வேறுபட்ட நிறங்களில் காட்டப்பட்டுள்ள இணையியத் தொகுதிகளும்.

ஒரே இணையியத் தொகுதியைச் சேர்ந்த உறுப்புகளை, குலத்தின் அமைப்பை மட்டுமேகொண்டு வேறுபடுத்த முடியாது. எனவே, பல பண்புகளைப் பகிர்ந்துகொள்கின்றன. பரிமாறா குலங்களின் இணையியத் தொகுதிகள் குறித்த ஆய்வுகள்தான் அவற்றின் அமைப்பு குறித்த ஆய்வுகளுக்கு அடிப்படையாகும். பரிமாற்றுக் குலங்களில் ஒவ்வொரு இணையியத் தொகுதியும் ஒரேயொரு உறுப்புடைய கணமாக (ஒற்றையுறுப்பு கணம்) இருக்கும்.

ஒரே இணையியத் தொகுதியிலுள்ள உறுப்புகளுக்கு மாறிலியாகவுள்ள சார்புகள் “தொகுதிச் சார்புகள்” என அழைக்கப்படுகின்றன.

வரையறை

$G$ ஒரு குலம். $a,$ $b$ என்ற இரு உறுப்புகளுக்கு $b=gag^{-1}.$ என்பதை நிறைவு செய்யும் மற்றொரு உறுப்பு $g$ அதே குலத்தில் இருந்தால் $a,$ $b$ இரண்டும் ஒன்றுகொன்று இணையியம் (conjugate) ஆகும்.

"இணைத்தல்" செயல் என்பது ஒரு சமான உறவு என்பதை எளிதாகக் காணமுடியும். எனவே இச் செயல் $G$ ஐ சமானத் தொகுதிகளாகப் பிரிக்கிறது. (அதாவது, குலத்தின் ஒவ்வொரு உறுப்பும் ஒரேயொரு இணையியத் தொகுதியில் மட்டுமே இருக்கும். மேலும் $a$, $b$ இரண்டும் ஒன்றுக்கொன்று இணையியங்களாக "இருந்தால், இருந்தால்தான்" அவற்றின் இணையியத் தொகுதிகள் $\operatorname {Cl} (a),$ $\operatorname {Cl} (b)$ இரண்டும் சமமாக இருக்கும். அவ்வாறில்லாவிடில் அவ்விரு தொகுதிகளும் சேர்ப்பில்லாக் கணங்களாக இருக்கும்.)

$a\in G$ இன் சமானத் தொகுதி: $$\operatorname {Cl} (a)=\left\{gag^{-1}:g\in G\right\}$$ இதுவே $a$ இன் இணையியத் தொகுதியுமாகும்.

$G$ இன் வேறுபட்ட இணையியத் தொகுதிகளின் எண்ணிக்கையானது அக்குலத்தின் "தொகுதி எண்" எனப்படும். ஒரே இணையியத் தொகுதியைச் சேர்ந்த குலத்தின் உறுப்புகள் அனைத்தும் வரிசையுடையவையாக இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்

எடுத்துக்காட்டு 1

மூன்று உறுப்புகளின் 6 வரிசைமாற்றங்களின் சமச்சீர் குலமான சமச்சீர் குலம் $S_{3}$]] -க்கு மூன்று இணையியத் தொகுதிகள் உள்ளன:

1. மாற்றம் இல்லாதது $(abc\to abc)$. ஒரு வரிசையுடைய ஒரேயொரு உறுப்புடையது.
2. இரு உறுப்புகளை இடமாற்றல் $(abc\to acb,abc\to bac,abc\to cba)$. இரண்டு வரிசையுடைய மூன்று உறுப்புகள் உள்ளன.
3. எல்லா மூன்று உறுப்புகளையும் வரிசைமாற்றல் $(abc\to bca,abc\to cab)$. மூன்று வரிசையுடைய இரண்டு உறுப்புகள் உள்ளன.

இந்த மூன்று தொகுதிகளும் சமபக்க முக்கோணத்தின் சமவளவைக் குலங்களின் வகைப்படுத்தலை ஒத்ததாகும்.

எடுத்துக்காட்டு 2

நான்கு உறுப்புகளின் 24 வரிசைமாற்றங்களின் சமச்சீர் குலம்$S_{4}$ -க்கு ஐந்து இணையியத் தொகுதிகள் உள்ளன. இவ்வைந்தும் அவற்றின் விளக்கம், வரிசைமாற்ற வகை, உறுப்பின் வரிசை, உறுப்புகள் என பட்டியலிடப்படுகின்றன:

$a,b\in S_{4}$ எனில், $(a,b)$ -இன் $bab^{-1}$ அட்டவணை. ஒவ்வொரு நிரையும் $a,$ -இன் இணையியத் தொகுதியிலுள்ள அனைத்து உறுப்புகளையும் கொண்டுள்ளது. ஒவ்வொரு நிரலும் $S_{4}$ இன் எல்லா உறுப்புகளையும் கொண்டுள்ளது.

1. மாற்றம் இல்லாதது. சுழல் முறை = [1⁴]; வரிசை = 1; உறுப்புகள் = { (1, 2, 3, 4) }; அட்டவணையில் இந்த இணையியத் தொகுதி ஒரே நிரையில் கருப்பு வட்டங்களில் காட்டப்பட்டுள்ளது.
2. இரண்டு உறுப்புகள் மட்டும் மாற்றம். சுழல் முறை = [1²2¹]; வரிசை = 2; உறுப்புகள் = { (1, 2, 4, 3), (1, 4, 3, 2), (1, 3, 2, 4), (4, 2, 3, 1), (3, 2, 1, 4), (2, 1, 3, 4) }); அட்டவணையில் இந்த இணையியத் தொகுதி பச்சை நிறத்தில் ஆறு நிரைகளில் காட்டப்பட்டுள்ளது.
3. மூன்று உறுப்புகளை மட்டும் வட்ட வரிசைமாற்றுதல். சுழல் முறை = [1¹3¹] வரிசை = 3: உறுப்புகள் = { (1, 3, 4, 2), (1, 4, 2, 3), (3, 2, 4, 1), (4, 2, 1, 3), (4, 1, 3, 2), (2, 4, 3, 1), (3, 1, 2, 4), (2, 3, 1, 4) }); அட்டவணையில் இந்த இணையியத் தொகுதியைக்கொண்ட 8 நிரைகள் நிறமின்றி சாதாரணமாகக் காட்டப்பட்டுள்ளது.
4. நான்கை மட்டும் வட்ட வரிசைமாற்றல். சுழல் முறை = [4¹]; வரிசை = 4. உறுப்புகள் = { (2, 3, 4, 1), (2, 4, 1, 3), (3, 1, 4, 2), (3, 4, 2, 1), (4, 1, 2, 3), (4, 3, 1, 2) }). அட்டவணையில் இந்த இணையியத் தொகுதி ஆறு நிரைகளில் ஆரஞ்சு நிறத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது.
5. இரு உறுப்புகளை இடம்மாற்றுவதோடு மற்ற இரண்டையும் இடம் மாற்றல். சுழல் முறை = [2²]; வரிசை = 2. உறுப்புகள் = { (2, 1, 4, 3), (4, 3, 2, 1), (3, 4, 1, 2) }); அட்டவணையில் இந்த இணையியத் தொகுதி 3 நிரைகளில் தடித்தவகையில் காட்டப்பட்டுள்ளது.

பொதுவாக, சமச்சீர் குலம் $S_{n}$ இன் இணையியத் தொகுதிகளின் எண்ணிக்கை $n.$ -இன் எண் பிரிவினைகளின் என்ணிக்கைக்குச் சமமானதாக இருக்கும்.

பண்புகள்

• $\operatorname {Cl} (e)=\{e\}.$ என்பதைத் தனது இணையியத் தொகுதியில் நிறைவு செய்யும் ஒரேயொரு உறுப்பாக குலத்தின் சமனி உறுப்பு மட்டுமே இருக்கும்.
• $G$ ஒரு பரிமாற்றுக் குலமெனில், $gag^{-1}=a$ $\forall$$a,g\in G.$ அதாவது, $\operatorname {Cl} (a)=\{a\}$ $\forall$ $a\in G.$

இதன் மறுதலையும் உண்மையாக இருக்கும்: அனைத்து இணையியத் தொகுதிகளும் ஒற்றையுறுப்புக் கணமாக இருந்தால், $G$ ஒரு பரிமாற்றுக் குலமாக இருக்கும்.

• $a,b\in G$ எனும் இரு உறுப்புகள் ஒரே இணையியத் தொகுதியைச் சேர்ந்தவையெனில், அவற்றின் வரிசைகளும் சமமாகவே இருக்கும். மேலும் $\varphi (x)=gxg^{-1}$ என்ற கோப்பு $G$ இன் உள் தன்னமைவியமாக இருக்குமென்பதால், $a$ -க்கான எந்தக் கூற்றையும் $b=gag^{-1},$ -க்கானக் கூற்றாகக் கொள்ளலாம்.
• I$a,$ $b$ இரண்டும் இணையியங்கள் எனில், அவற்றின் அடுக்குகளும் ($a^{k},$ and $b^{k}.$) இணையியங்களாக இருக்கும்.

$a=gbg^{-1}$ எனில், $a^{k}=\left(gbg^{-1}\right)\left(gbg^{-1}\right)\cdots \left(gbg^{-1}\right)=gb^{k}g^{-1}.$

• $\sigma \in S_{n};$

இதன் சுழல் முறையிலுள்ள சுழல்களின் நீளங்கள்: $m_{1},m_{2},\ldots ,m_{s}$;

$i=1,2,\ldots ,s$ ஒவ்வொன்றுக்கும் $\sigma$ -இன் $m_{i}$ நீளமுள்ள சுழல்களின் எண்ணிக்கை $k_{i}$ ($\sum \limits _{i=1}^{s}k_{i}m_{i}=n$) எனில்,

$\sigma$ இன் இணையியங்களின் எண்ணிக்கை:

$${\frac {n!}{\left(k_{1}!m_{1}^{k_{1}}\right)\left(k_{2}!m_{2}^{k_{2}}\right)\cdots \left(k_{s}!m_{s}^{k_{s}}\right)}}.$$

மேற்கோள்கள்

• Grillet, Pierre Antoine (2007). Abstract algebra. Graduate texts in mathematics. Vol. 242 (2 ed.). Springer. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-0-387-71567-4.

வெளியிணைப்புகள்

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Conjugate elements", Encyclopedia of Mathematics, Springer, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-1556080104