எண்

எண் (Number) என்பது எண்ணுதல், அளவிடுதல் மற்றும் சிட்டையிடுதலுக்குப் பயன்படும் ஒரு கணிதப் பொருளாகும். கணிதத்துறையில் பலவகையான எண்கள் உள்ளன. எண்களுக்கான இயல் எண்கள் (1, 2, 3, 4, ...) எண்களுக்கான அடிப்படை எடுத்துக்காட்டாகும்.^[1] எண்களைக் குறிப்பதற்குப் பயன்படுத்தப்படும் குறியீடானது எண்ணுரு எனப்படும்.^[2]

மனிதன் தோன்றிய காலத்திலேயே அவன் கைவிரல்களை எண்ண எப்பொழுது தானே கற்றுக்கொண்டானோ அன்றே 'எண்' என்ற கருத்து உண்டானதாகக் கொள்ளலாம். எண்களின் கருத்து வளர்ச்சியே கணிதவியலின் தோற்றம் ஆகும்.

கணிதத்தில், பல நூற்றாண்டுகளாக பூச்சியம்^[3] எதிர்ம எண்கள்,^[4] விகிதமுறு எண்கள் ( $1 / 2$ , $- 2 / 3$ ), மெய்யெண்கள்,^[5] ( $\sqrt 2$ , $π$ ), சிக்கல் எண்கள் ^[4]^[6] என எண்களின் தொகுப்பு நீட்சியடைந்தது. எண்கணிதத்தில் கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல், வகுத்தல், அடுக்கேற்றம் ஆகிய கணிதச் செயலிகளின் மூலம் எண்கள் கணிக்கிடப்படுகின்றன. எண் கோட்பாட்டில் எண்களின் பண்புகள் விளக்கப்படுகிறது.

எண் என்ற கருத்துரு தொன்மக் காலம் தொட்டு தமிழர்களிடம் முக்கியத்துவம் பெற்றிருக்கின்றது. "எண்ணென்ப ஏனை எழுத்தென்ப; இவ்விரண்டும் கண்ணென்ப வாழும் உயிர்க்கு" என்ற திருவள்ளுவர் குறளும், "எண் எழுத்து இகழேல்" என்ற ஒளவையார் கூற்றும் பழந்தமிழர் சிந்தனையில் எண்ணுக்கும், எழுத்துக்கும் தொன்றுதொட்டு தந்த முக்கியத்துவத்தை விளக்குகின்றன.

வகைப்பாடு

இயல் எண், மெய் எண் போன்ற எண் தொகுப்புகள் அல்லது கணங்களாக எண்கள் வகைப்படுத்தப்படுகின்றன.^[7] எண்களின் முக்கிய வகைப்பாடுகள்:

எண் தொகுதிகள்
$\mathbb {N}$	இயல் எண்	0, 1, 2, 3, 4, 5, ... or 1, 2, 3, 4, 5, ... $\mathbb {N} _{0}$ அல்லது $\mathbb {N} _{1}$ எனவும் சில சமயங்களில் குறிப்பிடப்படும்.
$\mathbb {Z}$	முழு எண்	..., −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...
$\mathbb {Q}$	விகிதமுறு எண்	a/b, a , b இரண்டும் முழு எண்கள்; b பூச்சியமல்ல
$\mathbb {R}$	மெய்யெண்	ஒருங்கும் விகிதமுறு எண்கள் தொடர்வரிசையின் எல்லை
$\mathbb {C}$	சிக்கல் எண்கள்	a + bi , a , b இரண்டும் மெய்யெண்கள்; i = −1 இன் வர்க்கமூலம்

இயல் எண்கள்

நடைமுறையில் மிகவும் பழக்கமான எண்கள், எண்ணுவதற்குப் பயன்படும் எண்கள் இயற்கை எண்களாகும். இவைகளை இயல் எண்கள் அல்லது இயலெண்கள் என்றும் குறிப்பிடலாம். இவை 1, 2, ... என்பன.

இவ்வெண் தொகுதி (கணம்) $\mathbf {N}$ என்னும் சிறப்பெழுத்தால் கணிதத்தில் குறிக்கப்படுகின்றது.

முழு எண்கள்

இயல் எண்களுடன் பூச்சியம் மற்றும் எதிர்ம எண்களையும் (-1, -2, -3, ...) சேர்த்து, முழு எண்கள் கணம் அமைகிறது. இக்கணத்தின் குறியீடு $\mathbf {Z}$ ஆகும்.

முழு எண்கள் மூன்று வகைப்படும்:

மிகை எண்கள் அல்லது நேர்ம எண்கள்: 1, 2, 3, ...
பூச்சியம் அல்லது சூனியம்: 0
குறை எண்கள் அல்லது எதிர்ம எண்கள்: -1, -2, -3, ...

இம்முழு எண்களின் கணம் $\mathbf {Z}$ இயல் எண்களின் கணமான $\mathbf {N}$ ஐ உள்ளடக்கியது. அதாவது $\mathbf {N} \subset \mathbf {Z} .$

விகிதமுறு எண்கள்

அரை, கால், ஒன்றேமுக்கால் என்பன போன்று முழு எண்களால் ஆன விகிதங்களால் குறிப்பிடப்படுவன ஒரு வகுகோட்டின் மேலும் கீழுமாக முழு எண்களால் குறிப்பிடப்படும் வகுனி எண்கள் அல்லது விகிதமுறு எண்கள் (rational numbers) எனப்படும். இவை அரை கால், வீசம் போன்ற கீழ்வாய் எண்களாக அல்லது குறைஎண்களாக (பின்னங்கள், பிள்வங்கள்) இருக்கலாம், அல்லது 7/3, 21/6 என்பன போன்று ஒன்றின் மிகையான எண் அளவைக்குறிக்கும் எண்களாகவும் இருக்கலாம். இவ் வகுனி எண்கள் கணம் $\mathbf {Q}$ என்னும் எழுத்தால் குறிக்கப்படுகின்றது.

இந்த விகிதமுறு கணம் $\mathbf {Q}$ முழு எண்களின் கணமான $\mathbf {Z}$ ஐ உள்ளடக்கியது. அதாவது $\mathbf {Z} \subset \mathbf {Q}$ .

மெய்யெண்கள்

எல்லா எண்களும் விகிதமுறு எண்களல்ல என்பது $\surd {2}$ முதலிய எண்களின் உதாரணம் கொண்டு கணித ஆய்வாளர்கள் கிரேக்க கணிதகாலத்திலிருந்தும், இந்துக்களின் சுல்வசூத்திரங்களிலிருந்தும் தெரிந்து வைத்திருந்தனர். ஆனால் $\mathbf {Q}$ என்ற விகிதமுறு எண்கள் கணத்தையும் உள்ளடக்கி ஒரு மிகப்பெரிய எண்கணம் $\mathbf {R}$ என்பதொன்று உண்டென்றும் அதுதான் நாம் வாழ்க்கையில் சந்திக்கும் எல்லா எண்களையும் உள்ளடக்கியது என்றும் மனிதன் ஐயமறத் தெரிந்துகொள்வதற்கு 19வதுநூற்றாண்டு வரையில் காத்திருக்கவேண்டியதாயிற்று.

$\mathbf {R}$ என்றகணத்தின் உறுப்புகளுக்கு மெய் எண்கள் என்றும், உள்ளது உள்ளபடி இருப்பதால் உள்ளக எண்கள் என்றும் பெயர்கள் உண்டு. இதனில், விகிதமுறு எண்களை எடுத்துவிட்டால், இதர எண்கள் விகிதமுறா எண்கள் எனப்படும். விகிதமுறா எண்கள் இரண்டு வகைப்படும்: இயற்கணித எண்கள், விஞ்சிய எண்கள்.

கலப்பெண்கள்(Complex numbers)

இதற்குமேலுள்ள எண்கணங்களெல்லாம் கணித இயலர்களின் படைப்புகளே. எடுத்துக்காட்டாக, செறிவெண்கள் (பலக்கெண், அல்லது சிக்கலெண் என்னும் ஒருவகை எண்களுக்குக் கணிதத்திலும் அதன் எல்லா பயன்பாடுகளிலும் முக்கிய இடமுண்டு. சிக்கலெண்களின் கணம் $\mathbf {C}$ என்ற குறியீட்டால் குறிக்கப்படுகிறது. ஒவ்வொரு சிக்கலெண்ணிலும் ஒரு உள்ளகப் பகுதியும் (மெய்ப்பகுதி) ஒரு அமைகணப் பகுதியும் (கற்பனைப் பகுதி) உண்டு.

$\mathbf {C}$ இலுள்ள ஒவ்வொரு எண் z ம் a + ib என்ற உருவத்தில் இருக்கும். இங்கு a யும் b யும் மெய்யெண்கள். a க்கு z இன் உள்ளகப் பகுதி அல்லது மெய்ப்பகுதி என்றும் b க்கு z இன் அமைகணப் பகுதி அல்லது கற்பனைப் பகுதி என்றும் பெயர். இதில், i என்பது கற்பனை அலகு ஆகும்.

இவ்வெண் வகைகளின் தொடர்பு கீழே காட்டியவாறு உள்ளது:

\mathbf {N} \subset \mathbf {Z} \subset \mathbf {Q} \subset \mathbf {R} \subset \mathbf {C}

பகா எண்கள்

பகா எண் என்பது 1 மற்றும் அதே எண்ணைத் தவிர வேறு நேர் வகுத்திகள் இல்லாத, 1 ஐ விடப் பெரிய இயல் எண்ணாகும். 1 மற்றும் அதே எண்ணைத் தவிர வேறு வகுத்திகள் கொண்ட பிற இயல் எண்கள் (1 நீங்கலாக) கலப்பெண்கள் (composite numbers) என அழைக்கப்படுகின்றன.

எடுத்துக்காட்டாக, இயல் எண் 11 ஒரு பகா எண். அதற்கு 1 ஐத் தவிர வேறு வகுத்திகள் இல்லை. இயல் எண் 6 ஒரு கலப்பெண். ஏனெனில் இதன் வகுத்திகள்: 1, 2, 3, 6. கணிதத்தில் மட்டுமல்லாது, அறிவியலைச் சார்ந்த மிகப்பல பிரிவுகளிலும், பகா எண் என்ற கருத்து எண்களைப் பற்றிய பற்பல உறவுகளில் பங்களிக்கிறது. எண் கோட்பாட்டில் பகா எண் முக்கிய பங்குவகிக்கிறது. எண்கள் தோன்றிய காலத்திலிருந்தே பகா எண் என்ற கருத்துள்ள பெயர் இருந்திருக்காவிட்டாலும், கருத்தளவில் அது மனிதனின் எண்ணத்தில் தோன்றியிருக்க வேண்டும் என்றும், அத்தோன்றலே அறிவியலின் தொடக்கம் என்ற கருத்தும் உள்ளது. பகா எண்களைப் பற்றிச் சில கருத்துக்கள் ஆய்வு செய்யப்பட முடியாமலே பல நூற்றாண்டுகள் சென்றபிறகு, தற்காலத்தில் கணினிகளின் உதவியால் அவை மீண்டும் பெரிய அளவிலே ஆய்வு செய்யப்பட்டு வெற்றியும் தந்து கொண்டிருக்கின்றது.

இலக்கங்கள்

இலக்கங்கள் அல்லது எண்ணுருக்கள் என்பவை எண்களிலிருந்து வேறுபட்டவை. இலக்கங்கள் எண்களைப் பிரதிநிதித்துவப்படுத்தும் குறியீடுகளாகும். பல வகையான எண் முறையினங்கள் புழக்கத்தில் உள்ளன.

முதன்முதலில் எகிப்தியர்கள் மறையீட்டு எண்ணுருக்களைக் கண்டறிந்ததைத் தொடர்ந்து கிரேக்கர்கள் எண்களை ஐயோனிய மற்றும் டோரிக் (Ionian and Doric) எழுத்துக்களோடு எண்களைத் தொடர்புபடுத்தினர்.^[8] எழுத்துக்களின் சேர்ப்பாக அமைந்த ரோம என்ணுருக்கள், 14 ஆம் நூற்றாண்டின் பிற்காலத்தில் அராபிய எண்ணுருக்கள் அறிமுகமாகும் முன்னரான இடைக்காலம் வரை ஐரோப்பாவில் முக்கியப் பயன்பாட்டில் இருந்தது. அராபிய எண்ணுருக்களே இன்றுவரை உலகில் அதிகம் பயன்பாட்டில் உள்ளன.^[9] கிட்டத்தட்ட கிபி 500 இல் பண்டைய இந்தியக் கணிதவியலாளர்களால் கண்டறியப்பட்ட பூச்சியத்தால் அராபிய எண்ணுருக்கள் அதிகப் பயனுள்ளதாக அமைந்தது.^[9]

காப்ரேகர் எண்கள்

இந்தியக் கணிதவியலாளர் கப்ரேகர் கண்டுபிடித்த கப்ரேகர் எண்கள் என்பவை கணிதத்தில் குறிப்பிடத்தக்கவையாகும். எடுத்துக்காட்டாக, 703 என்பது ஒரு கப்ரேகர் எண்ணாகக் குறிப்பிடப்பெறுகிறது. இவ்வெண்ணின் சிறப்பியல்புகளாவது, இந்த எண்ணின் வர்க்கம், அதாவது இந்த எண்ணை இதே எண்ணால் பெருக்கிவரும் பெருக்கற்பலனை, இரு பகுதிகளாக வகைப்படுத்தி, அவ்விரு பகுதிகளின் கூட்டற்பலன் என்பது மூல எண்ணாக, அதாவது 703 ஆகவே அமையும்.

703 X 703 = 494209

பெருக்கற்பலன் 494209 இன் இரு பகுதிகள் என்பவை 494 மற்றும் 209

இவ்விரு பகுதிகளின் கூட்டற்பலன்:

494 + 209 = 703

வரலாறு

விலங்கின் எலும்புகளே முதலில் எண் முறைமைக்கு மானுடத்தால் பயன்படுத்தப்பட்டது.^[10] வரலாற்றில் முதலில் மதிப்பாக எண்களைப் பயன்படுத்தியவர்கள் மெசொப்பொத்தேமியர்கள் ஆவர். இவர்கள் கி. மு. 3400 ஆண்டுகளின் வாக்கில் அறுபதின்ம எண் முறையைப் பயன்படுத்தினர். எகிப்தியர்கள் கி. மு. 3100 ஆண்டுகளின் வாக்கில் பதின்ம எண் முறையைப் பயன்படுத்தினர்.^[11] பாபிலோனியர்களும், எகிப்தியர்களும் சுழியத்தை (0) சொல்லாகவும் இந்தியர்கள் சுழியத்தை சூன்யம் என்ற சொல்லாகவும் பயன்படுத்தினர்.^[12]

எதிர்ம எண்கள்

கிமு 100 முதல் கிமு 50 வரையிலான காலகட்டங்களில் சீனாவில் எதிர்மறை எண்களின் சுருக்கத் தொகுப்புகள் உணரப்பட்டன. ஒன்பது இயல்களை உள்ளடக்கிய கணிதக் கலை நூலில் எண்களைக் குறிக்க பல்வேறு வழிமுறைகள் கையாளப்பட்டுள்ளன. நேர்ம எண்களைக் குறிப்பிட சிவப்புக் கோல்கள் பயன்படுத்தப்பட்டன. கருமையான கோல்கள் எதிர்ம எண்களைக் குறிப்பிடுவதற்கு பயன்பட்டன.^[13] மேற்கத்தியப் பயன்பாட்டில் இவ்வெண்கள் பற்றிய முதல் குறிப்புகள் கி.பி. மூன்றாம் நூற்றாண்டில் கிரேக்க நாட்டில் காணப்பட்டன. தைபோபாண்டசு (Diophantus) இன் அரித்மேட்டிகாவில் (Arithmetica) 4x + 20 = 0 என்கிற ஒரு சமன்பாட்டின் தீர்வாக எதிர்ம எண் குறிப்பிடப்பட்டிருந்தது. மேலும், இச்சமன்பாடானது ஒரு அபத்தமான தீர்வை தந்தது என்றும் கூறியது.

கி.பி. 600 காலகட்டங்களில் எதிர்ம எண்கள் இந்தியாவில் கடன்கள் குறித்த பிரதியாதலில் பயன்படுத்தப்பட்டன. கி.பி. 628 இல் இந்தியக் கணிதவியலாளரான பிரம்மகுப்தரின் ”பிராமசுபுத சித்தாந்தா” (Brāhmasphuṭasiddhānta) வானது, தைபோபாண்டசின் முந்தைய குறிப்புகள் பற்றி அதிக வெளிப்படைத்தன்மையுடன் விவாதித்தது. பிரம்மகுப்தர் எதிர்ம எண்களைப் பயன்படுத்தித் தோற்றுவித்த, பொதுவாக நான்கு பகுதிகளை உள்ளடக்கிய இருபடி வாய்ப்பாடு (Quadratic formula), தற்காலத்திலும் பயன்பாட்டில் இருந்து வருகின்றது. எனினும், இந்தியாவில் பன்னிரண்டாம் நூற்றாண்டில் பாசுகரர் என்பார் இருபடிச் சமன்பாடுகளுக்கான எதிர்ம மூலங்களை அளித்தார். மேலும் அவர் எதிர்ம மதிப்பானது எடுத்துக்கொள்ளப்படமாட்டாது எனவும் கூறினார். எதிர்ம மூலங்களின் போதாமையின் காரணமாக, மக்கள் அவற்றை ஏற்றுக்கொள்ளவில்லை.

ஐரோப்பியக் கணிதவியல் அறிஞர்களுள் பெரும்பாலோனோர் பதினேழாம் நூற்றாண்டு வரை, எதிர்ம எண்கள் பற்றிய கருத்தினை எதிர்த்தனர். இருந்தபோதிலும், பிபோனாச்சி (Fibonacci), நிதி சம்மந்தப்பட்ட பிரச்சினைகளில் எதிர்மத் தீர்வுகளை அனுமதித்தார். அங்கு, அவை முதலில் கடன்களாகக் ( Liber Abaci , 1202 இல் 13 ஆவது அத்தியாயம் ) கொள்ளப்பட்டன. அதன்பின்னர், நட்டங்களுக்குப் பதிலீடாகக் கருதப்பட்டன. அதேவேளையில், சீனர்கள், நேர்ம எண்களின் வலக்கோடி பூச்சியமற்ற எண்ணுருவின் ஊடாக மூலைவிட்டக் கோடு வரைந்து அந்த நேர்ம எண்களுக்குரிய எதிர்ம எண்களைக் குறிப்பிட்டனர்.^[14] பதினைந்தாம் நூற்றாண்டில் நிக்கோலோ சூகுத் (Nicolas Chuquet) என்பவர், ஐரோப்பியக் கணிதச் செயற்பாடுகளில் முதன்முதலாக எதிர்ம எண்களின் பயன்பாட்டைக் கொண்டுவந்தார். அவ்வெண்களை அடுக்குகளாக (Exponents) உபயோகப்படுத்தினார். ஆனாலும், அவற்றை அபத்த எண்கள் (Absurd numbers) என்று குறிப்பிட்டார்.

விஞ்சிய எண்கள்

விஞ்சிய எண்களின் இருப்பதை லியோவில் (Liouville) 1844, 1851 களில் முதன்முதலாக நிறுவினார். 1873 இல் கெர்மைத் (Hermite) என்பார், e ஒரு விஞ்சிய எண் என்று நிரூபித்தார். 1882 இல் லிண்டெமன் (Lindemann) $\pi$ என்பதை ஒரு விஞ்சிய எண் என நிரூபணம் செய்தார். முடிவாக, காண்டர் (Cantor) என்பவர், மெய் எண்களின் தொகுப்பை எண்ணுறா முடிவிலி (Uncountably infinite) கணம் என்று எடுத்துரைத்தார். ஆனால், இயற்கணித எண்களின் தொகுப்பை எண்ணுரு முடிவிலி (Countably infinite) எனக் குறிப்பிட்டார். ஆகவே, விஞ்சிய எண்கள் எண்ணுறா முடிவிலிகளாக உள்ளன.

முடிவிலி

முடிவிலி பற்றிய கணிதக் கருத்தானது, பண்டைய இந்திய வேதநூலான எசுர்வேதத்தில் குறிப்பிடப் பெற்றுள்ளது. அதில் எடுத்துரைக்கும் ஒரு கருத்தாவது, முடிவிலியிலிருந்து ஒரு பகுதியை அகற்றினாலோ, முடிவிலியில் ஒன்றை சேர்த்தாலோ முடிவிலியானது மாற்றம் அடையாது நீடித்திருக்கும் என்பதாகும். கி.மு. 400 இல் சமண சமய கணிதவியலாளர்களிடையே, அவர்தம் மெய்யியல் கல்வியின் குறிப்பிடத்தக்கப் பாடமாக முடிவிலி அமைந்திருந்தது. அவர்கள் முடிவிலியினை ஐந்து வகையாக வகைப்படுத்தியிருந்தனர். அவையாவன:^{[சான்று தேவை]}

ஒற்றை திசை முடிவிலி
இரு திசை முடிவிலி
பரப்பு முடிவிலி
யாண்டு முடிவிலி
நிலைத்த முடிவிலி

இவற்றையும் பார்க்கவும்

மேற்கோள்களும் குறிப்புகளும்

↑ "number, n." (in en-GB). OED Online (Oxford University Press). http://www.oed.com/view/Entry/129082.
↑ "numeral, adj. and n.". OED Online (Oxford University Press). http://www.oed.com/view/Entry/129111.
↑ Matson, John. "The Origin of Zero" (in en). Scientific American. https://www.scientificamerican.com/article/history-of-zero/.
↑ ^4.0 ^4.1 Hodgkin, Luke (2005-06-02). A History of Mathematics: From Mesopotamia to Modernity (in ஆங்கிலம்). OUP Oxford. pp. 85–88. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 9780191523830.
↑ T. K. Puttaswamy, "The Accomplishments of Ancient Indian Mathematicians", pp. 410–1. In: Selin, Helaine; D'Ambrosio, Ubiratan, eds. (2000), Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics, Springer, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 1-4020-0260-2.
↑ Descartes, René (1954) [1637], La Géométrie | The Geometry of René Descartes with a facsimile of the first edition, Dover Publications, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-486-60068-8, பார்க்கப்பட்ட நாள் 20 April 2011
↑ "Eine Menge, ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens – welche Elemente der Menge genannt werden – zu einem Ganzen." [1]
↑ Chrisomalis, Stephen (2003-09-01). "The Egyptian origin of the Greek alphabetic numerals". Antiquity 77 (297): 485–496. doi:10.1017/S0003598X00092541. பன்னாட்டுத் தர தொடர் எண்:0003-598X. https://www.cambridge.org/core/journals/antiquity/article/egyptian-origin-of-the-greek-alphabetic-numerals/B21F16056A89CCDF000EE98CAC4E43AE.
↑ ^9.0 ^9.1 Bulliet, Richard; Crossley, Pamela; Headrick,, Daniel; Hirsch, Steven; Johnson, Lyman (2010). The Earth and Its Peoples: A Global History, Volume 1. Cengage Learning. p. 192. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 1439084742. Indian mathematicians invented the concept of zero and developed the "Arabic" numerals and system of place-value notation used in most parts of the world today{{cite book}}: CS1 maint: extra punctuation (link)^{[better source needed]}
↑ Marshak, A., The Roots of Civilisation; Cognitive Beginnings of Man’s First Art, Symbol and Notation, (Weidenfeld & Nicolson, London: 1972), 81ff.
↑ "Egyptian Mathematical Papyri – Mathematicians of the African Diaspora". Math.buffalo.edu. பார்க்கப்பட்ட நாள் 2012-01-30.
↑ "Historia Matematica Mailing List Archive: Re: [HM] The Zero Story: a question". Sunsite.utk.edu. 1999-04-26. Archived from the original on 2012-01-12. பார்க்கப்பட்ட நாள் 2012-01-30.
↑ ஸ்டாஸ்ஸ்கோ, ரொனால்ட்; ராபர்ட் பிராட்ஷா (2004). த கணித மண்டலம் (3 வது பதி.) . ப்ரூக்ஸ் கோல். ப. 41. ISBN 0-534-40365-4 .
↑ Smith, David Eugene (1958). History of Modern Mathematics. Dover Publications. p. 259. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-486-20429-4.

வெளி இணைப்புகள்

சொல்லாக்கத்தைப்பற்றிய குறிப்புகள்

[1] "number, n." (in en-GB). OED Online (Oxford University Press). http://www.oed.com/view/Entry/129082.

[2] "numeral, adj. and n.". OED Online (Oxford University Press). http://www.oed.com/view/Entry/129111.

[3] Matson, John. "The Origin of Zero" (in en). Scientific American. https://www.scientificamerican.com/article/history-of-zero/.

[:0-4] 4.0 ^4.1 Hodgkin, Luke (2005-06-02). A History of Mathematics: From Mesopotamia to Modernity (in ஆங்கிலம்). OUP Oxford. pp. 85–88. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 9780191523830.

[5] T. K. Puttaswamy, "The Accomplishments of Ancient Indian Mathematicians", pp. 410–1. In: Selin, Helaine; D'Ambrosio, Ubiratan, eds. (2000), Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics, Springer, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 1-4020-0260-2.

[6] Descartes, René (1954) [1637], La Géométrie | The Geometry of René Descartes with a facsimile of the first edition, Dover Publications, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-486-60068-8, பார்க்கப்பட்ட நாள் 20 April 2011

[7] "Eine Menge, ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens – welche Elemente der Menge genannt werden – zu einem Ganzen." [1]

[8] Chrisomalis, Stephen (2003-09-01). "The Egyptian origin of the Greek alphabetic numerals". Antiquity 77 (297): 485–496. doi:10.1017/S0003598X00092541. பன்னாட்டுத் தர தொடர் எண்:0003-598X. https://www.cambridge.org/core/journals/antiquity/article/egyptian-origin-of-the-greek-alphabetic-numerals/B21F16056A89CCDF000EE98CAC4E43AE.

[Cengage_Learning2-9] 9.0 ^9.1 Bulliet, Richard; Crossley, Pamela; Headrick,, Daniel; Hirsch, Steven; Johnson, Lyman (2010). The Earth and Its Peoples: A Global History, Volume 1. Cengage Learning. p. 192. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 1439084742. Indian mathematicians invented the concept of zero and developed the "Arabic" numerals and system of place-value notation used in most parts of the world today{{cite book}}: CS1 maint: extra punctuation (link)^{[better source needed]}

[10] Marshak, A., The Roots of Civilisation; Cognitive Beginnings of Man’s First Art, Symbol and Notation, (Weidenfeld & Nicolson, London: 1972), 81ff.

[11] "Egyptian Mathematical Papyri – Mathematicians of the African Diaspora". Math.buffalo.edu. பார்க்கப்பட்ட நாள் 2012-01-30.

[12] "Historia Matematica Mailing List Archive: Re: [HM] The Zero Story: a question". Sunsite.utk.edu. 1999-04-26. Archived from the original on 2012-01-12. பார்க்கப்பட்ட நாள் 2012-01-30.

[13] ஸ்டாஸ்ஸ்கோ, ரொனால்ட்; ராபர்ட் பிராட்ஷா (2004). த கணித மண்டலம் (3 வது பதி.) . ப்ரூக்ஸ் கோல். ப. 41. ISBN 0-534-40365-4 .

[14] Smith, David Eugene (1958). History of Modern Mathematics. Dover Publications. p. 259. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-486-20429-4.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]