விண்கலப் பறத்தலின் இயங்கியல்

விண்வெளி ஊர்தி அல்லது விண்கலத்தில் செயல்படும் வெளிப்புற விசைகள் அதன் பறக்கும் தடத்தின் படிமத்தை உருவாக்கும் இயந்திர இயக்கவியலின் பயன்பாடே விண்கலப் பறத்தலின் இயங்கியல் ஆகும். இந்த விசைகள் முதன்மையாக மூன்று வகைகளாகும். அவை, ஊர்தியின் பொறிகளால் வழங்கப்படும் உந்துவிசை, புவி அல்லது பிற வான்பொருட்களால் செலுத்தப்படும் ஈர்ப்பு விசை, புவி வளிமண்டலத்தில் அல்லது செவ்வாய், வெள்ளி போன்ற பிற கோள்களின் வளிமண்டலத்தில் பறக்கும்போது உருவாகும் காற்றியக்கத் தூக்கல், இழுவை என்பனவாகும்.

அப்பல்லோ 11 மனித நிலாத் தரையிறங்கும் பயணத்தின் பறத்தல் தடவழி , ஜூலை 1969

புவியிலிருந்து ஏவப்படும் ஆற்றல் ஊட்டிய ஊர்தியின் பறத்தலின் படிமத்தை உருவாக்க பறத்தலின் இயங்கியல் நெறிமுறைகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. ஒரு விண்கலத்தின் வட்டணை பறத்தல் நடவடிக்கைகளில் வட்டணை மாற்றம், நிலாவுக்குப் பெயர்தல், கோளிடை தடவழி, ஒரு வான்பொருளில் இருந்து வளிமண்டலம் ஊடாக அல்லது இன்றி,ஏவுதலும் அதில் இறங்கலும் புவி அல்லது வேறு வான்பொருள் வளிமண்டலத்தில் நுழைதல் , திசைவைப்புக் கட்டுப்பாடு ஆகியன அடங்கும். அவை பொதுவாக ஒரு ஊர்தியின் உறழ்வு(நிலைம) வழிசெலுத்தல் அமைப்புகளில் திட்டமிடப்பட்டு , தரையில் பறத்தல் கட்டுபாட்டுக் குழுவால் கண்காணிக்கப்ப்படுகின்றன. நாசாவில் விண்கலப் பறத்தல் கட்டுபாட்டு அலுவலரும் ஐரோப்பிய விண்வெளி நிறுவனத்தில் விண்கலப் பறத்தல் கட்டுப்பாட்டுக் குழுவின் உறுப்பினரும் இப்பணியை மேற்கொள்கின்றனர்..

பறத்தலின் இயங்கியல் செலுத்தல் புலங்களாகிய காற்றியங்கியல், வானியங்கியல் ( வட்டனை இயக்கவியல், விண்கோள இயக்கவியல் உட்பட) ஆகிய துறைகளைப் பொறுத்தது. இதை வெறுமனே திசைவைப்புக் கட்டுப்பாட்டுக்குக் குறைத்து விட முடியாது - உண்மையான விண்கலத்தில் திசைதிருப்பும் சக்கரங்களோ, விமானங்கள் அல்லது கப்பல்களைப் போன்ற சுக்கன்களோ இல்லை. கற்பனையான விண்கலங்கள் சித்தரிக்கப்படும் விதத்தைப் போலல்லாமல் , ஒரு விண்கலம் உண்மையில் விண்வெளியில் திரும்புவதற்கோ தங்குவற்கோ வழியேதும் இல்லை , அங்கு அதன் பறக்கும் தடவழி அதன் மீது செயல்படும் ஈர்ப்பு விசைகளையும் பயன்படுத்தப்படும் உந்துவிசை முரைகளையும் பொறுத்தது.

அடிப்படைக் கோட்பாடுகள்

நியூட்டனின் இரண்டாம் இயக்க விதியைப் பயன்படுத்தி, ஒரு விண்வெளி ஊர்தியின் பறத்தல் தீர்மானிக்கப்படுகிறது.$$\mathbf {F} =m\mathbf {a} ,$$இங்கு, F என்பது வாகனத்தின் மீது செலுத்தப்படும் அனைத்து விசைகளின் திசையன் கூட்டுத்தொகையாகும். m என்பது அதன் நடப்பு பொருண்மையாகும். a என்பது முடுக்கத் திசையன் ஆகும். (v) என்பது திசைவேகத்தின் திசையன்ஆகும். திசைவேகம் இடப்பெயர்ச்சியின் கண மாற்ற வீதமாகும். முடுக்கம் என்பது விசையின் கூட்டுத்தொகையை நிறையால் வகுத்தால் கிடைக்கும்.. திசைவேகத்தைப் பெறுவதற்காக முடுக்கம் காலம் சார்ந்து தொகுக்கப்படுகிறது. இடப்பெயர்ச்சியைப் பெற, திசைவேகம் காலம் சார்ந்து தொகுக்கப்படுகிறது.

பறத்தலின் இயங்கியல் கணக்கீடுகள் ஊர்தியில் உள்ள கணினி வழிகாட்டுதல் அமைப்புகளால் கையாளப்படுகின்றன. பறத்தலின் இயங்கியல் நிலை, நாசாவில் மனித விண்வெளிப் பயண மையத்தில் விமான இயக்கவியல் அதிகாரியால் அல்லது ஐரோப்பிய விண்வெளி நிறுவனத்தில் விமானக் கட்டுப்பாட்டுக் குழுவின் உறுப்பினரால் தரைக் கட்டுபாட்டு நிலையத்தில் கண்காணிக்கப்படுகிறது.

ஆற்றல் ஊட்டிய வளிமண்டல பறத்தலுக்கு, ஓர் ஊர்தியில் செயல்படும் மூன்று முக்கிய விசைகள்கள் உந்துவிசை, காற்றியக்க விசை, ஈர்ப்பு . மையவிலக்கு விசை, கோரியோலிசு விசை, சூரிய கதிர்வீச்சு அழுத்தம் போன்ற னவாகும் பொதுவாக, சிறிய அளவிலான ஆற்றல் கொண்ட பறத்தல் நேரம், சிறிய அளவிலான விண்கலம் காரணமாக பொதுவாக கோரியோலிசு விசையும், சூரிய கதிர்வீச்சு அழுத்தமும் அருகியவை; மேலும் எளிய செயல்திறன் கணக்கீடுகளில் பொதுவாக அவற்றைப் புறக்கணிக்கலாம்.

செலுத்தல்

ஒரு வளிமண்டலத்தில் பொதுவாக செயல்படும் போது ஓர் ஏவூர்தியின் செலுத்தம் அல்லது உந்துவிசை தோராயமாகப் பின்வருமாறு மதிப்பிடப்படுகிறது. F $$F={\dot {m}}\;v_{e}={\dot {m}}\;v_{\text{e-opt}}+A_{e}(p_{e}-p_{\text{amb}})$$

இங்கு,

• வெளியேறும் வளிமத் திரள் ஓட்டம், ${\dot {m}}$
• பயனுள்ள வெளியேற்றத் திசைவேகம் (சில நேரங்களில் வெளியீடுகளில் c என குறிக்கப்படுகிறது), $v_{e}$
• p_amb = p_{e ,} எனில் பயனுள்ள தாரையின் திசைவேகம், $v_{\text{e-opt}}$
• கூம்புமுனை வெளியேறு தள்த்தின் பாய்வுப் பரப்பளவு (அல்லது தனித் தாரை பாய்வு எனில், கூம்புமுனையை விட்டு வெளியேறும் பரப்பளவு), $A_{e}$
• கூம்புமுனை வெளியேறு தளத்தின் நிலையியல் அழுத்தம், $p_{e}$
• சுற்றுப்புற (அல்லது வளிமண்டல) அழுத்தம்,$p_{\text{amb}}$

ஏவூர்தி எரிபொருளின் பயனுள்ள வெளியேற்றத் திசைவேகம் வெற்றிட தன் கணதாக்குக்கு நேர்விகிததில் உள்ளது. மேலும் இது வளிமண்டல அழுத்தத்தால் தாக்கப்படுகிறதுஃ$$v_{e}=g_{0}\left(I_{\text{sp-vac}}-{\frac {A_{e}\,p_{\text{amb}}}{\dot {m}}}\right)$$இங்கே,

• நொடி அலகில் உள்ள, $I_{\text{sp-vac}}$
• புவியின் மேற்பரப்பில் ஈர்ப்பு முடுக்கம்$g_{0}$

சியோல்கோவ்சுகி ஏவூர்தி சமன்பாட்டின்படி, தன் கணத்தாக்கு, டெல்டா - வி திறனை நுகரப்படும் எரிபொருளுடன் தொடர்புபடுத்துகிறதுஃ$$\Delta v\ =v_{e}\ln {\frac {m_{0}}{m_{1}}}$$ இங்கே,

• தொடக்கநிலை மொத்த நிறை, $m_{0}$, கிலோவில் (அல்லது lb) உள்ள எரிபொருள் பட
• இறுதி மொத்த நிறை kg (அல்லது lb) இல் உள்ள $m_{1}$
• m / s (or ft / s) இல் பயனுள்ள வெளியேற்றத் திசைவேகம் $v_{e}$
• டெல்டா - வி என்பது m / s (அல்லது ft / s) இல் உள்ள $\Delta v$

காற்றியக்க விசை

புவி , செவ்வாய் அல்லது வெள்ளி போன்ற குறிப்பிடத்தக்க வளிமண்டலத்துடன் ஒரு பொருளின் அருகே இருக்கும் காற்றியக்க விசைகள் தூக்கல் எனக் கொள்ளப்படுகின்றது. இது பறக்கும் திசையில் செங்குத்தாக இருக்கும் விசையின் கூறு ஆகும். (வானூர்தி போல, ஈர்ப்பு விசையைச் சமநிலைப்படுத்த மேல்நோக்கி இருக்க வேண்டிய கட்டாயமில்லை). இழுவை பரப்புக்கு எதிர்திசையில் செயல்படுகிறது. தூக்கலும் இழுவையும் மேற்கோள் பரப்பில் செயல்படும் ஒரு இயங்கு அழுத்தம், கெழு இரண்டன் பெருக்கலாகக் கருதப்படுகின்றன.$$\mathbf {L} =C_{L}qA_{\text{ref}}$$$$\mathbf {D} =C_{D}qA_{\text{ref}}$$

இங்கே,

• CL தோராயமாக α உடன் நேரியலாக இருக்கும் , இது ஊர்தி அச்சுக்கும் பறக்கும் திசைக்கும் இடையிலான தாக்குதல் கோணம் (ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட மதிப்பு வரை) ஆகும். அச்சு சமச்சீரான பொருளுக்கு α = 0 எனில் இதன் மதிப்பும் 0 ஆகும்.
• CD, α2 ′ பொறுத்து மாறும்
• சிஎல் மற்றும் சிடி ஆகியவை முறையேரெனால்ட்சு எண், மேக் எண் சார்ந்து மாறும்.
• இயங்கு அழுத்தம் 1/2 ρv2 க்குச் சமம் , அங்கு ρ என்பது வளிமண்டல அடர்த்தி, ( இது புவிக்கானபன்னாட்டுத் தர வளிமண்டல உயரத்தின் சார்பாக, வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது (மேலும், கற்பித வெப்பநிலை பரவல் , நீர்நிலையியல் அழுத்த வேறுபாடு, கருத்தியலான வளிம விதி ஆகியவை பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளது. ஆரேஃப் என்பது அதிகபட்ச விட்டத்தில் குறுக்கு வெட்டு பகுதி போன்ற ஊர்தியின் ஒரு சிறப்பியல்பு பகுதியாகும்.

ஈர்ப்பு

ஒரு விண்வெளி ஊர்தியில் ஒரு வான்பொருள் செலுத்தும் ஈர்ப்பு விசை, பொருளும் ஊர்தியும் புள்ளிப் பொருண்மைகளாக எடுத்துக் கொள்ளப்படுகின்றன. புவி, நிலா போன்றவை கோளங்களாக எளிமைப்படுத்தப்படுகின்றன. ஊர்தியின் பொருண்மை பொருளின் பொருளை விட மிகச் சிறியது , இதனால் ஈர்ப்பு விசையில் அதன் விளைவு புறக்கணிக்கப்படலாம். முடுக்கம். ஆகையால் ஈர்ப்பு விசை பின்வருமாறு கணக்கிடப்படுகிறது.$$\mathbf {W} =m\cdot g$$இங்கே,

• ஈர்ப்பு விசை (gravitational force), $W$
• விண்வெளி ஊர்தியின் பொருண்மை, $m$
• கோளின் மையத்துக்கும் ஊர்திக்கும் இடையிலான ஆரத் தொலைவு, $r$
• கோளின் மேற்பரப்பிலிருந்து அதன் மையத்திற்கான ஆரத் தொலைவு, $r_{0}$
• கோள் மேற்பரப்பு ஈர்ப்பு முடுக்கம், $g_{0}$
• g என்பது குறித்த உயரத்தில் உள்ள ஈர்ப்பு முடுக்கம் ஆகும். இது கோள் மையத்திற்கானஆரத் தொலைவின் தலைகீழ் இருபடி விகிதத்தில் மாறும். $$g=g_{0}\left({\frac {r_{0}}{r}}\right)^{2}$$

ஆற்றலூட்டிய பறத்தல்

ஏவுதலின் போது ஓர் ஊர்தியின் பறத்தலை விவரிக்கப் பயன்படுத்தப்படும் இயக்கச் சமன்பாடுகள், முதனிலைச் செயல்திறன் மதிப்பீடுகளுக்கான ஊர்தியின் கணக்கீடுகளுக்கு ஆறுதிசை விடுதலை அல்லது இருதிசை விடுதலை உள்ளது போல எளிமையாக கருதலாம். பூமியின் முட்டை வடிவம், சீரான பொருண்மைப் பரவல், நிலா, சூரியன், பிற கோள்கள் உட்பட அருகிலுள்ள அனைத்து பொருட்களின் ஈர்ப்பு விசைகள் போன்ற சிற்றுலைவுக் காரணிகள் தொடர்பாக, பறத்தலைக் கணக்கிடும். முதனிலை மதிப்பீடுகளில் சில எளிமையான கற்பிதங்களைச் செய்ய முடியும். ஒரு கோளைச் சீரான கோளமாகவும் ஊர்தியை ஒரு புள்ளிப்பொருண்மையாகவும் கருதலாம். பறத்தல் தடவழி தீர்வு காண ஒரு இருபொருள் சிக்கலைப் பயன்படுத்தலாம். களப் பறத்தல் தடவழி, துல்லியமான சிறிய இழப்புடன், ஒற்றைத் தளத்தில் உள்ளதாகக் கருதலாம்.

ஏவுதலின் போது விண்வெளி ஊர்தி மீது செயல்படும் திசைவேகம், இருப்பு, விசை ஆகியவற்றின் திசையன்கள்

புவியிலிருந்து ஏவப்படும் ஒரு ஏவுதலில் பொதுவாக பொரியின் உந்துதல், காற்றியக்கவியல் விசைகள், ஈர்ப்பு விசை ஆக்யவற்றைக் கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ள வேண்டும். முடுக்கம் சமன்பாட்டை திசையன் வடிவத்தில் இருந்து அளவன் வடிவத்துக்கு மாற்றிக் கொள்ளலாம். இதற்கு தொடர்புடைய உள்ளூர் செங்குத்து நேர வீத மாற்ற கூறுகளுடன் தொடர்புடைய விமான பாதை கோணம்) என தீர்ப்பதன் மூலம் திசையனில் இருந்து அளவிடக்கூடிய வடிவத்திற்கு குறைக்கலாம்.$v$$\theta$ இரண்டு சமன்பாடுகளும் பின்வருமாறு அமையும்.$${\begin{aligned}{\dot {v}}&={\frac {F\cos \alpha }{m}}-{\frac {D}{m}}-g\cos \theta \\{\dot {\theta }}&={\frac {F\sin \alpha }{mv}}+{\frac {L}{mv}}+\left({\frac {g}{v}}-{\frac {v}{r}}\right)\sin \theta ,\end{aligned}}$$இங்கே,

• F என்பது பொறிதரும் உந்துவிசை
• α என்பது தாக்குதலின் கோணம்
• m என்பது ஊர்தியின் பொருண்மை
• D என்பது ஊர்தியின் காற்றியக்க இழுவை
• L என்பது அதன் காற்றியக்கவியல் தூக்கல்
• r என்பது கோளின் மையத்திற்குள்ள ஆரத் தொலைவு
• g என்பது பறக்கும் உயரத்தில் ஈர்ப்பு முடுக்கம்.

எரிபொருள் நுகரப்படுவதால் பொருண்மை குறைகிறது. ராக்கெட் கட்டங்கள் பொறிகள், தொட்டிகள் உதிர்கின்றன .

v , θ எனும் நிலையான கோள் மதிப்புகள் எந்த நேரத்திலும் பறக்கும்போது சுழி நேரத்திலிருந்து இரண்டு சமன்பாடுகளின் எண்ணியலான தொகைப்பால் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன. (v , θ இரண்டும் 0 : ஆக இருக்கும்போது).$${\begin{aligned}v&=\int _{t_{0}}^{t}{\dot {v}}\,dt\\\theta &=\int _{t_{0}}^{t}{\dot {\theta }}\,dt\end{aligned}}$$சிறுகூறு உறுப்பு பகுப்ப்பாய்வைப் (finite element analysis) பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளை சிறிய நேர அதிகரிப்புகளாக பகுத்து, சமன்பாடுகளைத் தொகைக்க முடியும்.

பெரும்பாலான ஏ வூர்திகளுக்கு , ஒப்பீட்டளவில் சிறிய அளவிலான தூக்கல் உருவாக்கப்படுகிறது , மேலும் கோண வீத்ச் சமன்பாட்டின் மூன்றாவது உறுப்பைப் பொறுத்து ஈர்ப்பு திருப்பம் பயன்படுத்தப்படுகிறது. மேலெழும் நேரத்தில் , கோணமும், திசைவேகம் இரண்டும் சுழியாக உள்ளதால், , தீட்டா - டாட் சமன்பாடு கணிதவியலாக நிச்சயமற்றது. மேலெழும் . சிறிது நேரத்திலேயே திசைவேகம் சுழியமற்றதாக மாறும் வரை மதிப்பீடு செய்ய முடியாது. ஆனால் இந்த நிலையில் சுழியமற்ற கோணத்தில் செயல்படும் பொறி உந்துவிசை மட்டுமே ஊர்தியை தள்ளக்கூடிய ஒரே விசையாகும். (முதல் உறுப்பு) சுழியமல்லாத தள்ளுகோணத்தை அடையும் வரை சிறிது அளவு தூக்கலை (இரண்டாம் உறுப்பு). ஈர்ப்புத் திருப்பம் தருகிறது. நெட்டிவிடல் என்பது கிம்பல் பொறி உந்துவிசை வழி தாக்குதலின் கோணத்தை அதிகரிப்பதால் தொடங்கப்படுகிறது. இதைத் தொடர்ந்து பறத்தலின் பிந்தைய பகுதிவழி தாக்குதல் கோணம் படிப்படியாக குறைகிறது.

திசைவேகமும் பறக்கும் தடவழிக் கோணமும் அறிந்துள்ளதால், உயரமும் ($h$) இறங்கும் தொலைவும்($s$) கணக்கிடப்படும்.

ஒரு விண்வெளி ஊர்தியில் செயற்படும் திசைவேகம், விசைத் திசையன்கள் , ஆற்றல் ஊட்டிய இறங்குதல், தரையிறங்குதலின்போது.

$${\begin{aligned}h&=\int _{t_{0}}^{t}v\cos \theta \,dt\\r&=r_{0}+h\\s&=r_{0}\int _{t_{0}}^{t}{\frac {v}{r}}\sin \theta \,dt\end{aligned}}$$கோள் நிலைப்படுத்தப்பட்ட v, θ மதிப்புகள், பின்வரும் மாற்றங்களுடன், விண்வெளி - நிலைப்படுத்திய ( உறழ்வு) மதிப்புகளாக மாற்றப்படுகின்றன.$$v_{s}={\sqrt {v^{2}+2\omega rv\cos \varphi \sin \theta \sin A_{z}+(\omega r\cos \theta )^{2}}},$$இங்கு ω என்பது வினாடிக்கு ரேடியன்களில் கோளின் சுழற்சி வீதம், φ என்பது ஏவுதளத்தின் அகலாங்கு, Az என்பது ஏவுகணை ஏற்றக்(அசிமத்) கோணம்.$$\theta _{s}=\arccos \left({\frac {v\cos \theta }{v_{s}}}\right)$$இறுதிv_s, θs, r மதிப்புகள் இலக்கு வட்டணையின் தேவைகளுக்குப் பொருந்த வேண்டும் (கீழே உள்ள சுற்றுப்பாதை பறத்தலைப் பார்க்கவும்) இங்கு இறுதி v_s பொதுவாக தேவையான அண்மைநிலைப் புள்ளி (வட்டத்துக்கு) திசைவேகம் ஆகும். இறுதி θs 90 பாகை ஆகும்லாற்றல் ஊட்டிய ஒரு இறங்குதல் பகுப்பாய்வு தலைகீழ் எல்லை நிலைமைகளுடன் இதே நடைமுறையைப் பயன்படுத்தும்.

வட்டணையில் பறத்தல்

$$\Delta v\ =v_{c}-v_{p}$$ஒரு மையப் பொருளைப் பற்றிய வட்டணையில் பறப்பதைக் கணக்கிட வட்டணை இயக்கவியல் பயன்படுத்தப்படுகிறது. போதுமான உயர் வட்டணைகளுக்கு (பொதுவாக புவியைப் பொருத்தவரையில் குறைந்தது 190 கிலோமீட்டர்கள் (100 கடல் மைல்கள்) கிலோமீட்டர் (100 கடல் மைல்)) காற்றியக்க விசை ஒப்பீட்டளவில் குறுகிய காலப் பயணங்களுக்கு மிகக் குறைவு என்று கருதலாம் (ஒரு சிறிய அளவு இழுவை இருக்கலாம் என்றாலும் , இது நெடுங் காலத்திற்கு சுற்றுப்பாதை ஆற்றலின் சிதைவுக்கு வழிவகுக்கிறது.) மையப் பொருளின் பொருண்மை விண்கலத்தை விட மிகப் பெரியதாக இருக்கும்போது பிற பொருள்கள் போதுமான தொலைவில் இருக்கும்போது , வட்டணைகளில் பறத்தலின் தீர்வை இருபொருள் சிக்கலாகக் கருதலாம்.

இதன் விளைவாக தடவழி ஒரு கூம்பு வெட்டுமுகமாக (வட்ட, நீள்வட்ட, பரவளைய அல்லது மீப்பரவளையமாக) மையப் பொருள் உடல் ஒரு குவியத்தில் அமைந்திருப்பதன் விளைவாக இருக்கலாம்ளப்போது . அட்டணைத் தடவழிகள் வட்டங்கள் அல்லது நீள்வட்டங்கள் ஆகும் , பரவளையத் தடவழி மையப் பொருளின் ஈர்ப்பு விசையிலிருந்து ஊர்தியின் முதல் வகைத் தப்பித்தலாகும். மீப்பரவளையத் தடவழிகள் அதிகப்படியான வேகத்துடன் தப்பித்தல் தடவழிகள் ஆகும். கீழே உள்ள கோள்களுக்கிடையேயான பறத்தல் கீழ் தரப்படுகிறது.

நீள்வட்ட ழ்வட்டணைகள் மூன்று உறுப்புகளால் வகைப்படுத்தப்படுகின்றன. a எனும்அரைப் பேரச்சு என்பது சேய்மைநிலை, அண்மைநிலை ஆரங்களின் சராசரி ஆகும்.$$a={\frac {r_{a}+r_{p}}{2}}$$மையப்பிறழ்மை e பின்னர் அண்மை, சேய்மை நிலைகள் தெரிந்த ஒரு நீள்வட்டத்திற்கு கணக்கிட முடியும்ஃ$$e={\frac {r_{a}}{a}}-1$$ஒரு முழு வட்டணைக்கான கால அளவு அரைப் பேரச்சை மட்டுமே சார்ந்துள்ளது. மையப்பிறழ்மையைச் சார்ந்திருப்பதில்லை.$$T=2\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}}$$இங்கே$\mu$ என்பது மையப் பொருளின் செந்தர ஈர்ப்பு அளவுரு

The angular orbital elements of a spacecraft orbiting a central body, defining orientation of the orbit in relation to its fundamental reference plane

விண்வெளியில் வட்டணையில் திசைவைப்பு மூன்று கோணங்களால் குறிப்பிடப்படுகிறது.

• அடிப்படை தளத்துடன் வட்டணைத் தளத்தின் சாய்வு, i (இது பொதுவாக ஒரு கோள் அல்லது நிலாவின் நிலநடுவரைத்தளம் அல்லது சூரிய வட்டணையைப் பொறுத்தவரையில் சூரியனைச் சுற்றியுள்ள புவியின் வட்டணைத் தளமாகும்) .நேர்மறைச் சாய்வு வடக்கு நோக்கி இருக்கும் , எதிர்மறைச் சாய்வு தெற்கு நோக்கி இருக்கும்.
• ஏறுவரிசைக் கணுவின் நெட்டாங்கு Ω, அடிப்படை தளத்தில் எதிர்க்கடிகாரத் திசையில் ஒரு மேற்கோள் திசையில் இருந்து தெற்கு நோக்கி (வழக்கமாக வேனில் சமப் பலிரவு நாள்) விண்கலம் இந்தத் தளத்தை தெற்கிலிருந்து வடக்கே கடக்கும் கோடு வரை அளக்கப்படும். (சாய்வு சுழியாக இருந்தால் இந்த கோணம் வரையறுக்கப்படுவதில்லை.. இது 0 ஆக எடுத்துக் கொள்ளப்படுகிறது.
• அண்மைநிலை ω அளவு வட்டணைத் தளத்தில் எதிர்க்கடிகார திசையில் அளவிடப்படுகிறது , ஏறுவரிசைக் கணிவில் இருந்து சேய்மைநிலை வரை தெற்கு நோக்கி அள்க்கப்படும். ( சாய்வு 0 ′ ஆக இருந்தால் , ஏறுவரிசைக் கணு இல்லை) எனவே, ω மேற்கோள் திசையில் இருந்து அளவிடப்படுகிறது. ஒரு வட்ட வடிவ வட்டணையில் அண்மைநிலை இல்லை இல்லை , எனவே ω, 0 ஆக எடுத்துக் கொள்ளப்படுகிறது.

சுற்றுப்பாதை தளம் மிகவும் நிலையானது. ஆனால் பொதுவாக கோள்களின் முட்டை வடிவம் பிற வான்பொருள்களின் இருப்பு ஆகியவற்றால் ஏற்படும் சிற்ருலைவுகளுக்கு உட்பட்டது.

வட்டணையில் விண்கலத்தின் இருப்பு உண்மையான $\nu$பிறழ்மையால் குறிப்பிடப்படுகிறது , இது அண்மைநிலைக் கோணத்திலிருந்து அளவிடப்படுகிறது அல்லது ஏறுவரிசை கணு அல்லது மேற்கோள் திசையிலிருந்து ஒரு வட்ட வடிவ வாட்டணைக்கு.$\nu$ 90 பாகையில் உள்ள அண்மைநிலையிலிருந்தான ஆரம் ஆகும் $$p=a(1-e^{2})\,$$பறக்கும் எந்த நிலையிலும் ஆரம் என்பது,$$r={\frac {p}{1+e\cos \nu }}$$அந்த நிலையில் உள்ள திசைவேகம்,$$v={\sqrt {\mu \left({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}\right)}}$$

வட்டணையின் வகைகள்

வட்டம்

ஒரு வட்டமான வட்டணைக்கு , r = rp = a மற்றும் பிறழ்மை 0 ஆகும். கொடுக்கப்பட்ட ஆரத்தில் வட்ட வேகம்$$v_{c}={\sqrt {\frac {\mu }{r}}}$$

நீள்வட்டம்

ஒரு நீள்வட்ட வட்டணைக்கு e என்பது 0 ஐ விட பெரியது. ஆனால் 1 ஐ விட குறைவானது. அண்மைநிலை வேகம்,$$v_{p}={\sqrt {\frac {\mu (1+e)}{a(1-e)}}}$$மற்றும் அண்மைநிலையில் திசைவேகம்,$$v_{a}={\sqrt {\frac {\mu (1-e)}{a(1+e)}}}\,$$e = 1 மற்றும் r எல்லையற்றதாக மாறும்போது வரம்புக்குட்பட்ட நிலை ஒரு பரவளைய தப்பித்தல் வட்டணையாகும். அண்மைநிலையில் தப்பித்தல் வேகம் $$v_{e}={\sqrt {\frac {2\mu }{r_{p}}}}$$

பறக்கும் தடவழிக் கோணம்

எந்த கூம்பு சுற்றுப்பாதையின் குறிப்பிட்ட கோண உந்தம் நிலையானது மற்றும் பெரியஅழியில் ஆரம் மற்றும் வேகத்தின் பெருக்கலுக்கு சமம். சுற்றுப்பாதையில் வேறு எந்த புள்ளியிலும் இது சமமாக இருக்கும்ஃ 13$$h=rv\cos \varphi ,$$இங்கு φ என்பது உள்ளூர் கிடைமட்டத்திலிருந்து (செங்குத்தாக r வரை) அளவிடப்படும் விமானப் பாதை கோணமாகும்.) இது சுற்றுப்பாதையில் எந்த புள்ளியிலும் ஆரம் மற்றும் வேகத்தை அறிந்து கணக்கிட அனுமதிக்கிறதுஃ

ரு வட்ட சுற்றுப்பாதையில் 0 டிகிரி (90 டிகிரி) நிலையான நிலையான பாதை கோணம் உள்ளது என்பதை கவனியுங்கள்.

நேரத்தின் சார்பாக, உண்மைப் பிறழ்மை

மேலே கொடுக்கப்பட்ட கோண உந்தச் சமன்பாடு உண்மையான ஒழுங்கின்மையில் ஏற்படும் மாற்ற விகிதத்தை r′v′ மற்றும் φ′ உடன் தொடர்புபடுத்துகிறது என்பதைக் காட்டலாம் , இதனால் உண்மையான ஒழுங்கின்மையை ஒருங்கிணைப்பு மூலம் பெரியாப்சிஸ் பத்தியில் இருந்து நேரத்தின் செயல்பாடாக காணலாம்.$$\nu =r_{p}v_{p}\int _{t_{p}}^{t}{\frac {1}{r^{2}}}\,dt$$இதற்கு நேர்மாறாக , கொடுக்கப்பட்ட ஒழுங்கின்மையை அடைய தேவைப்படும் நேரம்ஃ$$t={\frac {1}{r_{p}v_{p}}}\int _{0}^{\nu }r^{2}\,d\nu$$

சுற்றுப்பாதை சூழ்ச்சிகள்

சுற்றுப்பாதையில் ஒருமுறை ஒரு விண்கலம் ராக்கெட் என்ஜின்களை வேறு உயரத்தில் அல்லது சுற்றுப்பாதையின் வகைகளில் விமானத்தில் மாற்றங்களைச் செய்ய அல்லது அதன் சுற்றுப்பாதை தளத்தை மாற்றலாம். இந்த சூழ்ச்சிகளுக்கு விண்கலத்தின் வேகத்தில் மாற்றங்கள் தேவைப்படுகின்றன , மேலும் கிளாசிக்கல் ராக்கெட் சமன்பாடு கொடுக்கப்பட்ட டெல்டா - வி க்கான உந்துசக்தித் தேவைகளைக் கணக்கிட பயன்படுத்தப்படுகிறது. ஒரு டெல்டா - <i id="mwAYk">வி</i> வரவுசெலவுத் திட்டம் அனைத்து உந்துசக்தித் தேவைகளையும் சேர்க்கும் அல்லது பணிக்கான கொடுக்கப்பட்ட அளவு உந்துசக்திகளிடமிருந்து கிடைக்கும் மொத்த டெல்டா - V ஐ தீர்மானிக்கும். சுற்றுப்பாதையில் உள்ள பெரும்பாலான சூழ்ச்சிகளை மனக்கிளர்ச்சியாக மாதிரியாகக் கொள்ளலாம் , அதாவது குறைந்தபட்ச துல்லிய இழப்புடன் வேகத்தில் உடனடி மாற்றமாக இருக்கும்.

தள மாற்றங்களில்

வட்டணையை வட்டமாக்கல்

விரும்பிய சுற்றுப்பாதையின் வட்ட வேகத்திற்கும் தற்போதைய சுற்றுப்பாதையின் பெரிய வேகத்திற்கும் இடையிலான வேறுபாட்டிற்கு சமமான டெல்டா v உடன் ஒரு ஒற்றை இயந்திர எரிப்பைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் ஒரு நீள்வட்ட சுற்றுப்பாதை மிகவும் எளிதாக பெரிய சுற்றுப்பாதை அல்லது அப்போப்சிஸில் வட்ட சுற்றுப்பாதையாக மாற்றப்படுகிறது.

பெரியாப்சிஸில் சுற்றுவட்டப் படியாக ஒரு பிற்போக்கு தீக்காயங்கள் ஏற்படுகின்றனஃ$$\Delta v\ =v_{c}-v_{p}$$அபோஆப்சிஸில் சுற்றுவதற்கு ஒரு பாசிகிரேட் தீக்காயங்கள் ஏற்படுகின்றனஃ$$\Delta v\ =v_{c}-v_{a}$$

ஹோமான் இடமாற்றத்தால் உயர மாற்றம்

ஹோமான் ஒரு சுற்றுப்பாதையிலிருந்து (1) ஒரு உயர் சுற்றுப்பாதைக்கு (3)

ஒரு ஹோமான் பரிமாற்ற சுற்றுப்பாதை என்பது ஒரு விண்கலத்தை ஒரு உயரத்திலிருந்து இன்னொரு உயரத்திற்கு நகர்த்த பயன்படுத்தக்கூடிய எளிய சூழ்ச்சியாகும். இரண்டு தீக்காயங்கள் தேவைப்படுகின்றனஃ முதலாவது விண்கலத்தை நீள்வட்ட பரிமாற்ற சுற்றுப்பாதைக்கு அனுப்பவும் , இரண்டாவது இலக்கு சுற்றுப்பாதையை சுற்றிவரவும்.

ஒரு வட்ட சுற்றுப்பாதையை உயர்த்த , முதல் நிலை எரிப்பு பரிமாற்ற சுற்றுப்பாதையின் பெரிய வேகத்திற்கு வேகத்தை உயர்த்துகிறதுஃ$v_{1}$$$\Delta v_{1}\ =v_{p}-v_{1}$$அபோஆப்சிஸில் செய்யப்பட்ட இரண்டாவது நிலை எரிப்பு இலக்கு சுற்றுப்பாதையின் வேகத்திற்கு வேகத்தை உயர்த்துகிறதுஃ$$\Delta v_{2}\ =v_{2}-v_{a}$$சுற்றுப்பாதையை குறைப்பதற்கான ஒரு சூழ்ச்சி உயர்த்தும் சூழ்ச்சியின் கண்ணாடி படம் ஆகும் - இரண்டு தீக்காயங்களும் பின்னோக்கி செய்யப்படுகின்றன.

இரு நீள்வட்டப் பெயர்வால் உயர மாற்றம்

குறைந்த வட்ட தொடக்க சுற்றுப்பாதையில் இருந்து இரு நீள்வட்ட பரிமாற்றம் (அடர் நீல நிறத்தில் இருந்து உயர்ந்த வட்ட சுற்றுப்பாதைக்கு)

சற்று சிக்கலான உயர மாற்ற சூழ்ச்சியானது இரு நீள்வட்ட பரிமாற்றமாகும் , இது இரண்டு அரை நீள்வட்ட சுற்றுப்பாதைகளைக் கொண்டுள்ளது - முதல் நிலை தீக்காயமானது விண்கலத்தை மைய உடலிலிருந்து ஒரு கட்டத்தில் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட தன்னிச்சையான உயர் அபோப்ஸிஸுக்கு அனுப்புகிறது.$r_{b}$ இந்த கட்டத்தில் இரண்டாவது தீக்காயமானது , இறுதியாக விரும்பிய சுற்றுப்பாதையின் ஆரத்துடன் பொருந்தக்கூடிய வகையில் பெரிய மேற்புறத்தை மாற்றியமைக்கிறது , அங்கு மூன்றாம் பின்னோக்கிய தீக்காயமானது விண்கலத்தை விரும்பிய சுற்றுப்புறத்தில் செலுத்த செய்யப்படுகிறது. இது நீண்ட பரிமாற்ற நேரத்தை எடுக்கும் அதேவேளை , ஆரம்ப மற்றும் இலக்கு சுற்றுப்பாதை ஆரங்களின் விகிதம் 12 அல்லது அதற்கு அதிகமாக இருக்கும்போது , ஹோமான் பரிமாற்றத்தை விட இரு நீள்வட்ட பரிமாற்றத்திற்கு குறைவான மொத்த உந்துசக்தி தேவைப்படலாம்.

எரியும் 1 (படிமுறைஃ$$\Delta v_{1}\ ={v_{p}}_{1}-v_{1}$$இலக்கு சுற்றுப்பாதையின் உயரத்திற்கு பெரிய மேற்பரப்பை பொருத்த 2 ஐ எரிக்கவும் (நேர்மறை அல்லது பின்னோக்கி)$$\Delta v_{2}\ ={v_{a}}_{2}-{v_{a}}_{1}$$எரியும் 3 (பின்னோக்கிச் செல்லுதல்ஃ$$\Delta v_{3}\ =v_{2}-{v_{p}}_{2}$$

தள மாற்றம்

விமானம் மாற்றும் சூழ்ச்சிகளை தனியாகவோ அல்லது பிற சுற்றுப்பாதை மாற்றங்களுடன் இணைந்து செய்ய முடியும். சுற்றுப்பாதையின் சாய்வில் ஏற்படும் மாற்றத்தை மட்டுமே கொண்ட ஒரு தூய சுழற்சி தள மாற்ற சூழ்ச்சிக்கு , ஆரம்ப மற்றும் இறுதி சுற்றுப்பாதைகளின் குறிப்பிட்ட கோண உந்தம் அளவில் சமமாக இருக்கும் , ஆனால் திசையில் அல்ல. எனவே குறிப்பிட்ட கோண உந்தத்தின் மாற்றத்தை இவ்வாறு எழுதலாம்ஃ$$\Delta h=2h\sin \left({\frac {|\Delta i|}{2}}\right)$$இங்கு h என்பது தள மாற்றத்திற்கு முன் குறிப்பிட்ட கோண உந்தம் மற்றும் Δi என்பது சாய்வு கோணத்தில் விரும்பிய மாற்றம். இதிலிருந்து , தேவையான டெல்டா - V என்பதுஃ$$\Delta v={\frac {2h\sin {\frac {|\Delta i|}{2}}}{r}}$$h′ இன் வரையறையிலிருந்து இதை இவ்வாறு எழுதலாம்ஃ$$\Delta v=2v\cos \varphi \sin \left({\frac {\left|\Delta i\right|}{2}}\right)$$இங்கு v என்பது தள மாற்றத்திற்கு முன் வேகத்தின் அளவு மற்றும் φ என்பது பறக்கும் பாதை கோணம். சிறிய கோண தோராயத்தைப் பயன்படுத்தி இது பின்வருமாறு ஆகிறதுஃ$$\Delta v=v\cos(\varphi )\left|\Delta i\right|$$ஒரு ஒருங்கிணைந்த சூழ்ச்சிக்கான மொத்த டெல்டா - V ஐ தூய சுழற்சி டெல்டா - v மற்றும் மற்ற திட்டமிடப்பட்ட சுற்றுப்பாதை மாற்றத்திற்கான டெல்டா - வி ஆகியவற்றின் திசையன் கூட்டல் மூலம் கணக்கிட முடியும்.

நிலாவுக்குப் பெயரும் பறத்தல்

ஒரு வழக்கமான டிரான்ஸ்லுனார் பாதை

சந்திர அல்லது கிரக பயணங்களுக்கு அனுப்பப்படும் வாகனங்கள் பொதுவாக புறப்படும் பாதைக்கு நேரடி ஊசி மூலம் செலுத்தப்படுவதில்லை , ஆனால் முதலில் குறைந்த பூமி வாகன நிறுத்துமிட சுற்றுப்பாதையில் வைக்கப்படுகின்றன - இது ஒரு பெரிய ஏவுகணை சாளரத்தின் நெகிழ்வுத்தன்மையையும் , வாகனம் சரியான நிலையில் உள்ளதா என்பதை சரிபார்க்க அதிக நேரத்தையும் அனுமதிக்கிறது.

சந்திரனுக்கு பறக்க தப்பிக்க வேகம் தேவையில்லை , மாறாக வாகனத்தின் அபோஜீ சந்திரனின் ஈர்ப்பு மண்டலத்தில் (SOI) நுழையும் ஒரு புள்ளியின் வழியாக அதை எடுத்துச் செல்லும் அளவுக்கு உயரமாக உயர்த்தப்படுகிறது. இது ஒரு செயற்கைக்கோளிலிருந்து ஒரு விண்கலத்தில் அதன் ஈர்ப்பு விசை அதன் மைய உடலுக்கு சமமாக இருக்கும் தூரமாக வரையறுக்கப்படுகிறது$$r_{\text{SOI}}=D\left({\frac {m_{s}}{m_{c}}}\right)^{2/5},$$இங்கு D என்பது செயற்கைக்கோளிலிருந்து மையப் பகுதிக்கு உள்ள சராசரி தூரம் மற்றும் mc மற்றும் ms முறையே மையப் பகுதி மற்றும் செயற்கைக்கோளின் நிறை ஆகும். இதன் மதிப்பு பூமியின் சந்திரனில் இருந்து சுமார் 66,300 கிலோமீட்டர் (35,800 கடல் மைல்) ஆகும்.

பாதையின் துல்லியமான தீர்வுக்கு மூன்று உடல் சிக்கலாக சிகிச்சை தேவைப்படுகிறது , ஆனால் பூமி மற்றும் சந்திரனைச் சுற்றியுள்ள சுற்றுப்பாதைகளின் ஒரு இணைக்கப்பட்ட கூம்பு தோராயத்தைப் பயன்படுத்தி ஒரு ஆரம்ப மதிப்பீடு செய்யப்படலாம் , மேலும் சந்திரன் பூமியைச் சுற்றியுள்ள ஒரு சுழலும் சட்டகம் என்ற உண்மையை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வது.

நிலாப் பெயர்வு நுழைவு

$$r_{\text{SOI}}=D\left({\frac {m_{s}}{m_{c}}}\right)^{2/5},$$இது நேரத்தை நிர்ணயிக்க வேண்டும் , இதனால் சந்திரன் வாகனத்தை கைப்பற்றும் நிலையில் இருக்கும் , மேலும் ஹோஹ்மான் பரிமாற்றமாக முதல் தோராயமாக வடிவமைக்கப்படலாம். இருப்பினும் ராக்கெட் எரிப்பு காலம் பொதுவாக நீண்டதாக இருக்கும் மற்றும் இது மிகவும் துல்லியமாக இல்லை என்று விமான பாதை கோணத்தில் போதுமான மாற்றத்தின் போது ஏற்படுகிறது. இது ஒரு தூண்டுதல் அல்லாத சூழ்ச்சியாக வடிவமைக்கப்பட வேண்டும் , இது திசைவேகம் மற்றும் விமான பாதை கோணத்தைப் பெறுவதற்கு உந்துவிசை உந்துதல் மற்றும் ஈர்ப்பு காரணமாக முடுக்கங்களின் வரையறுக்கப்பட்ட உறுப்பு பகுப்பாய்வு மூலம் ஒருங்கிணைப்பு தேவைப்படுகிறது.$${\begin{aligned}{\dot {v}}&={\frac {F\cos \alpha }{m}}-g\cos \theta \\{\dot {\theta }}&={\frac {F\sin \alpha }{mv}}+\left({\frac {g}{v}}-{\frac {v}{r}}\right)\sin \theta ,\\v&=\int _{t_{0}}^{t}{\dot {v}}\,dt\\\theta &=\int _{t_{0}}^{t}{\dot {\theta }}\,dt\end{aligned}}$$இங்கே,

• F என்பது இயந்திரத்தின் உந்துதல்
• α என்பது தாக்குதலின் கோணம்
• m என்பது வாகனத்தின் நிறை
• r என்பது கிரகத்தின் மையத்திற்கு ரேடியல் தூரம் மற்றும்
• g என்பது ஈர்ப்பு முடுக்கம் , இது ரேடியல் தூரத்தின் தலைகீழ் சதுரத்துடன் மாறுபடும்ஃ 7 $$g=g_{0}\left({\frac {r_{0}}{r}}\right)^{2}$$

பூமியின் மையத்திலிருந்து உயரம் , தாழ்வுமுக தூரம் மற்றும் ரேடியல் தூரம் ஆகியவை பின்னர் கணக்கிடப்படுகின்றனஃ 7$h$$s$$r$

$${\begin{aligned}h&=\int _{t_{0}}^{t}v\cos \theta \,dt\\r&=r_{0}+h\\s&=r_{0}\int _{t_{0}}^{t}{\frac {v}{r}}\sin \theta \,dt\end{aligned}}$$

நடுவழித் திருத்தங்கள்

ஒரு எளிய சந்திரப் பாதை ஒரு சமதளத்தில் தங்கியிருப்பதால் சந்திரன் பூமத்திய ரேகைக்கு ஒரு சிறிய அளவிலான சாய்வுக்குள் சந்திரன் பறக்கிறது அல்லது சுற்றுப்பாதையில் செல்கிறது. இது ஒரு " இலவச திரும்புதல் " ஐ அனுமதிக்கிறது , இதில் விண்கலம் சந்திர சுற்றுப்பாதையில் செலுத்தப்படாவிட்டால் பூமியின் வளிமண்டலத்தில் மீண்டும் நுழைவதற்கு பொருத்தமான நிலைக்குத் திரும்பும். பொதுவாக பாதை பிழைகளை சரிசெய்ய ஒப்பீட்டளவில் சிறிய வேக மாற்றங்கள் தேவைப்படுகின்றன. அத்தகைய பாதை அப்பல்லோ 8 அப்பல்லோ 10 அப்பல்லோ 11 மற்றும் அப்பல்லோ 12 குழு சந்திர பயணங்களுக்கு பயன்படுத்தப்பட்டது.

சந்திர சுற்றுப்பாதை அல்லது தரையிறங்கும் தள கவரேஜ் அதிக நெகிழ்வுத்தன்மை (சந்திர சாய்வின் அதிக கோணங்களில் ஒரு விமானம் மாற்ற சூழ்ச்சியை நடுப்பகுதியில் விமானத்தில் செய்வதன் மூலம் பெறலாம்) இருப்பினும் , புதிய விமானம் விண்கலத்தின் அவசர திரும்பும் பாதையை எடுத்துச் செல்வதால் இது சுதந்திரமாக திரும்பும் விருப்பத்தை எடுத்துச் செல்கிறது பூமியின் வளிமண்டல மறு நுழைவு புள்ளியில் இருந்து விலகி விண்கலத்தை அதிக பூமியின் சுற்றுப்பாதையில் விட்டுச் செல்லுங்கள். இந்த வகை பாதை கடந்த ஐந்து அப்பல்லோ பயணங்களுக்கு (13 முதல் 17 வரை) பயன்படுத்தப்பட்டது.

நிலா வட்டணையில் நுழைத்தல்

அப்பல்லோ திட்டத்தில் , சந்திரனின் தொலைதூரப் பகுதியில் சுமார் 110 கிலோமீட்டர்கள் (59 கடல் மைல்கள்) கிலோமீட்டர் (59 கடல் மைல்) உயரத்தில் பிற்போக்கு சந்திர சுற்றுப்பாதை செருகல் எரியூட்டப்பட்டது. இது 300 கிலோமீட்டர்கள் (160 கடல் மைல்கள்) கிலோமீட்டர் (160 கடல் மைல்) வரிசையில் ஒரு அபோசின்தியனுடன் ஆரம்ப சுற்றுப்பாதைகளின் பெரிசின்தியனாக மாறியது. டெல்டா வி வி வி வி நொடிக்கு சுமார் 1,000 மீட்டர் (3,300 அடி / s) ஆகும். பின்னர் இரண்டு சுற்றுப்பாதைகள் 110 கிலோமீட்டர்கள் (59 கடல் மைல்கள்) கிலோமீட்டர் (59 கடல் மைல்) சுற்றளவில் சுற்றப்பட்டன. ஒவ்வொரு பணிக்கும் , விமான இயக்கவியல் அதிகாரி 10 சந்திர சுற்றுப்பாதை செருகும் தீர்வுகளைத் தயாரித்தார் , இதனால் ஒன்றை உகந்த (குறைந்தபட்ச எரிபொருள் எரிப்பு மற்றும் பணி தேவைகளை சிறப்பாக பூர்த்தி செய்தது) மூலம் தேர்வு செய்யலாம் , இது விண்கல கணினியில் பதிவேற்றப்பட்டது மற்றும் விண்வெளி வீரர்களால் செயல்படுத்தப்பட்டு கண்காணிக்கப்பட வேண்டும் சந்திரனின் தொலைதூரப் பக்கம் அவர்கள் பூமியுடன் வானொலி தொடர்பு இல்லாதபோது.

கோள்களுக்கிடையேயான பறப்பு

ஒரு கிரகத்தின் ஈர்ப்பு விசையை விட்டு மற்றொரு கிரகத்தை அடைய , புறப்படும் கிரகத்துடன் தொடர்புடைய ஒரு ஹைபர்போலிக் பாதை தேவைப்படுகிறது , இதில் அதிகப்படியான வேகம் சேர்க்கப்படுகிறது (அல்லது சூரியனைச் சுற்றியுள்ள புறப்படும் கிரகத்தின் சுற்றுப்பாதை வேகத்திலிருந்து கழிக்கப்படுகிறது). ஒரு உயர்ந்த கிரகத்திற்கு விரும்பிய சூரிய மைய பரிமாற்ற சுற்றுப்பாதை புறப்படும் கிரகத்தில் அதன் பெரிஹெலியனைக் கொண்டிருக்கும் , விண்கலம் சூரியனில் இருந்து விலகி இருக்கும்போது அதிபரம்புவிய அதிகப்படியான வேகத்தை நிலைநிறுத்த திசையில் பயன்படுத்த வேண்டும். தாழ்ந்த கிரக இலக்கு அபெலியன் புறப்படும் கிரகத்தில் இருக்கும் மற்றும் விண்கலம் சூரியனை நோக்கி இருக்கும்போது அதிகப்படியான வேகம் பின்னோக்கிய திசையில் பயன்படுத்தப்படுகிறது. துல்லியமான பணிக் கணக்கீடுகளுக்கு , கிரகங்களின் சுற்றுப்பாதை கூறுகள் நாசாவின் ஜெட் ப்ராபல்ஷன் ஆய்வகத்தால் வெளியிடப்பட்ட ஒரு எஃபிமெரிஸ் 21 இலிருந்து பெறப்பட வேண்டும்.

கற்பிதங்களை எளிமைப்படுத்துதல்

ஆரம்ப பணி பகுப்பாய்வு மற்றும் சாத்தியக்கூறு ஆய்வுகள் நோக்கத்திற்காக டெல்டா - வி கணக்கீட்டை மிகச் சிறிய பிழையுடன் செயல்படுத்த சில எளிமைப்படுத்தப்பட்ட அனுமானங்கள் செய்யப்படலாம்ஃ

• புதன் தவிர அனைத்து கிரகங்களின் சுற்றுப்பாதைகளும் மிகச் சிறிய விசித்திரத்தன்மையைக் கொண்டுள்ளன , எனவே அவை சூரியனில் இருந்து ஒரு நிலையான சுற்றுப்பாதை வேகம் மற்றும் சராசரி தூரத்தில் வட்டமாக இருப்பதாகக் கருதலாம்.
• அனைத்து கிரகங்களின் சுற்றுப்பாதைகளும் (புதன் தவிர) ஏறக்குறைய கோப்ளானாரால் ஆகும் , அவை கிரகணத்திற்கு மிகச் சிறிய சாய்வைக் கொண்டுள்ளன (3.
• மற்ற கிரகங்களின் ஈர்ப்பு விசையின் குழப்பமான விளைவுகள் மிகக் குறைவு.
• விண்கலம் அதன் பறக்கும் நேரத்தின் பெரும்பகுதியை சூரியனின் ஈர்ப்பு விசையின் கீழ் மட்டுமே செலவிடும் , இது புறப்பாடு மற்றும் இலக்கு கிரகங்களின் செல்வாக்கின் கோளத்தில் இருக்கும்போது குறுகிய காலங்களைத் தவிர.

கோள்களுக்கிடையேயான சூரிய மைய சுற்றுப்பாதையில் கிரகங்களுக்கு இடையேயான விண்கலங்கள் அதிக நேரம் செலவிடுவதால், அவை ஒன்றுக்கொன்று ஒப்பீட்டளவில் பெரிய தொலைவில் உள்ளன, டிரான்ஸ்லூனார் பாதைகளை விட கோள்களுக்கு இடையேயான பாதைகளுக்கு இணைப்பு-கூம்பு தோராயமானது மிகவும் துல்லியமானது. புறப்படும் கோளுடன் தொடர்புடைய ஹைபர்போலிக் டிராஜெக்டரி மற்றும் சூரிய மைய பரிமாற்ற சுற்றுப்பாதை ஆகியவற்றுக்கு இடையேயான இணைப்பு புள்ளியானது, மேலே உள்ள சுற்றுப்பாதை விமானத்தில் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளபடி, சூரியனுடன் தொடர்புடைய கிரகத்தின் செல்வாக்கு ஆரத்தில் ஏற்படுகிறது. சூரியனின் நிறை விகிதம் பூமியை விட 333,432 மடங்கு மற்றும் 149,500,000 கிலோமீட்டர்கள் (80,700,000 கடல் மைல்கள்) தூரம், பூமியின் செல்வாக்கு ஆரம் 924,000 கிலோமீட்டர்கள் (499,000 கடல் மைல்கள்) இ மில்லியன் கிமீ)

சூரியமையப் பெயரும் சுற்றுப்பாதை

புறப்படும் கிரகத்தின் சுற்றுப்பாதையில் இருந்து இலக்கு கிரகத்திற்கு விண்கலத்தை எடுத்துச் செல்ல தேவையான பரிமாற்ற சுற்றுப்பாதை பல விருப்பங்களில் தேர்ந்தெடுக்கப்படுகிறதுஃ

• ஒரு ஓகுமான் பரிமாற்ற சுற்றுப்பாதைக்கு குறைந்தபட்சம் சாத்தியமான உந்துசக்தி மற்றும் டெல்டா - வி தேவைப்படுகிறது , இது இரு கிரகங்களின் சுற்றுப்பாதைகளுக்கும் அபெலியன் மற்றும் பெரிஹெலியன் தொடுகோடு கொண்ட ஒரு நீள்வட்ட சுற்றுப்பாதையின் பாதியாகும் , இது நீள்வட்டத்தின் பாதிக்கு சமமான மிக நீண்ட வெளிப்புற விமான நேரத்துடன் உள்ளது. இது ஒரு இணை - வகுப்பு பணி என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஏனெனில் விண்கலம் இலக்கு கிரகத்தைச் சுற்றியுள்ள சுற்றுப்பாதையில் நுழையவில்லை என்றால் , அதற்கு பதிலாக பரிமாற்ற சுற்றுப்பாதையை நிறைவு செய்தால் புறப்படும் கிரகம் அதன் அசல் நிலையில் இருக்காது. திரும்புவதற்கு மற்றொரு ஹோஹ்மான் பரிமாற்றத்தைப் பயன்படுத்துவதற்கு இலக்கு கிரகத்தில் ஒரு குறிப்பிடத்தக்க லோய்டர் நேரம் தேவைப்படுகிறது , இதன் விளைவாக மிக நீண்ட மொத்த சுற்றுப்பயண பணி நேரம் தேவைப்படுகிறது. அறிவியல் புனைகதை எழுத்தாளர் ஆர்தர் சி. கிளார்க் தனது 1951 புத்தகத்தில் தி எக்ஸ்ப்ளோரேஷன் ஆஃப் ஸ்பேஸ் என்ற புத்தகத்தில் பூமி - செவ்வாய் சுற்றுப்பயணத்திற்கு 259 நாட்கள் வெளிச்சத்திலும் , மேலும் 259 நாட்கள் உள்வரும் தேவை என்று செவ்வாய் கிரகத்தில் 425 நாட்கள் தங்குவதற்கு.
• புறப்படும் அப்சிஸ் வேகத்தை அதிகரிப்பது (இதனால் அரை - பெரிய அச்சு) ஒரு பாதையை விளைவிக்கிறது , இது இலக்கு கிரகத்தின் சுற்றுப்பாதையை எதிர் அப்சிஸை அடைவதற்கு முன்பு தொந்தரவில்லாமல் கடக்கிறது - டெல்டா - வி அதிகரிக்கும் ஆனால் வெளிப்புற போக்குவரத்து நேரத்தை அதிகபட்சத்திற்கு கீழே குறைக்கிறது.
• ஈர்ப்பு உதவி சூழ்ச்சி சில நேரங்களில் ஒரு ஸ்லிங்ஷாட் சூழ்ச்சி அல்லது குரோக்கோ பணி என்று அழைக்கப்படுகிறது , அதன் 1956 முன்மொழிந்த கெய்டானோ குரோக்கோவின் விளைவாக ஒரு எதிர்க்கட்சி - வர்க்க பணி இலக்கில் மிகக் குறைந்த நேரத்துடன் உள்ளது. உதாரணமாக , செவ்வாய் கிரகத்திற்கான ஒரு சுற்றுப்பயணத்தை இணைக்கும் பணிக்கு தேவையான 943 நாட்களில் இருந்து பூமிக்குத் திரும்பும்போது வீனஸைக் கடந்து செல்வதன் மூலம் ஒரு வருடத்திற்குள் கணிசமாகக் குறைக்கலாம்.

மீப்பரவளைவுப் புறப்பாடு

தேவையான ஹைபர்போலிக் அதிகப்படியான திசைவேகம் v∞ (சில நேரங்களில் சிறப்பியல்பு திசைவேகஂ என்று அழைக்கப்படுகிறது) என்பது பரிமாற்ற சுற்றுப்பாதையின் புறப்படும் வேகத்திற்கும் புறப்படும் கிரகத்தின் சூரிய மைய சுற்றுப்பாதை வேகத்திற்கும் இடையிலான வேறுபாடு ஆகும். இது தீர்மானிக்கப்பட்டவுடன் , பெரியஅழியில் புறப்படும் கிரகத்துடன் தொடர்புடைய ஊசி வேகம்ஃ 30 ஆகும்$$v_{p}={\sqrt {{\frac {2\mu }{r_{p}}}+v_{\infty }^{2}}}\,$$ஒரு ஹைபர்போலாவுக்கான அதிகப்படியான திசைவேக திசையன் பெரியாப்சிஸ் தொடுகோட்டிலிருந்து ஒரு சிறப்பியல்பு கோணத்தால் இடம்பெயர்ந்ததால் பெரியாப்சிஸ்சின் ஊசி எரிப்பு கிரகங்கள் புறப்படும் புள்ளியை அதே கோணத்தில் வழிநடத்த வேண்டும்.$$\delta =\arcsin {\frac {1}{e}}$$நீள்வட்டத்தின் விசித்திரத்தன்மைக்கான வடிவியல் சமன்பாட்டை ஒரு ஹைபர்போலாவுக்குப் பயன்படுத்த முடியாது. ஆனால் விசித்திரத்தன்மையை இயக்கவியல் சூத்திரங்களிலிருந்து கணக்கிட முடியும்ஃ 32$$e={\sqrt {1+{\frac {2\varepsilon h^{2}}{\mu ^{2}}}}},$$இங்கு h என்பது சுற்றுப்பாதை பறக்கும் பிரிவில் மேலே கொடுக்கப்பட்டுள்ளபடி குறிப்பிட்ட கோண உந்தம் ஆகும்.$$h=r_{p}v_{p},$$மற்றும் ε என்பது குறிப்பிட்ட ஆற்றல்$$\varepsilon ={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{r}}\,$$மேலும் சுற்றுப்பாதை விமானத்தில் கொடுக்கப்பட்ட r மற்றும் v க்கான சமன்பாடுகள் அரை - பெரிய அச்சைப் பொறுத்தது , எனவே தப்பிக்கும் பாதைக்கு பயன்படுத்த முடியாதவை. ஆனால் ஆரத்தை பெரியாப்சிஸில் பூஜ்ஜியத்தில் r சமன்பாட்டிற்கு சமமாக அமைத்தல்$$p=r_{p}(1+e),\,$$இது ஆரம் மற்றும் ஒழுங்கின்மைக்கு மிகவும் பொதுவான சமன்பாட்டை அளிக்கிறது , இது எந்த விசித்திரத்திலும் பயன்படுத்தக்கூடியதுஃ$$r={\frac {r_{p}(1+e)}{1+e\cos \nu }}\,$$p க்கான மாற்று வெளிப்பாட்டை மாற்றுவது a க்கான மாற்று வெளிப்படுத்தலையும் தருகிறது (இது ஒரு ஹைபர்போலாவுக்கு வரையறுக்கப்படுகிறது , ஆனால் இனி அரை - பெரிய அச்சைக் குறிக்காது. இது வேகத்திற்கும் ஆரத்திற்கும் ஒரு சமன்பாட்டை அளிக்கிறது , இது எந்தவொரு விசித்திரத்திலும் பயன்படுத்தக்கூடியதுஃ$$v={\sqrt {\mu \left({\frac {2}{r}}-{\frac {1-e^{2}}{r_{p}(1+e)}}\right)}}\,$$சுற்றுப்பாதை விமானத்தில் கொடுக்கப்பட்ட பறக்கும் பாதை கோணம் மற்றும் ஒழுங்கின்மை மற்றும் நேரத்திற்கான சமன்பாடுகள் ஹைபர்போலிக் பாதைகளுக்கும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

ஏவுதல் சாளரங்கள்

கிரகங்களின் தொடர்ச்சியான மாறுபட்ட உறவினர் நிலைகள் காரணமாக ஒரு பணிக்கு தேவையான வேக மாற்றத்தின் நேரத்துடன் பெரும் மாறுபாடு உள்ளது. எனவே உகந்த வெளியீட்டு சாளரங்கள் பெரும்பாலும் பன்றி இறைச்சி அடுக்குகளின் முடிவுகளிலிருந்து தேர்ந்தெடுக்கப்படுகின்றன , அவை சிறப்பியல்பு ஆற்றலின் வரையறைகளைக் காட்டுகின்றன (v∞2′ திட்டமிடப்பட்டது மற்றும் புறப்பாடு மற்றும் வருகை நேரம்.

வளிமண்டல நுழைவு

$$v={\sqrt {\mu \left({\frac {2}{r}}-{\frac {1-e^{2}}{r_{p}(1+e)}}\right)}}\,$$ஒரு விண்கலத்தின் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட நுழைவு இறங்குதலும் தரையிறக்கமும் இழுவையால் காற்றியக்க வெப்பமாக அதிகப்படியான இயக்க ஆற்றலை வெளியேற்றுவதால் அடையப்படுகின்றன , இதற்கு சில வெப்ப பாதுகாப்பும் பின்னேகு உந்துதலும் தேவைப்படுகின்றன. முனைய இறங்குதல் பொதுவாக வான்குடையாலும் காற்று முட்டுதல்களாலும் அடையப்படுகிறது.

திசைவைப்புக் கட்டுப்பாடு

$${\omega _{x}}=\int _{t_{0}}^{t}{\alpha _{x}}dt$$விண்கலம் தங்கள் விமான நேரத்தின் பெரும்பகுதியை விண்வெளியின் வெற்றிடத்தில் ஆற்றலின்றிச் செலவிடுவதால் , அவை விமானங்களைப் போலல்லாமல் , அவற்றின் இயக்கத் தடவழி திசைவைப்பால் தீர்மானிக்கப்படுவதில்லை வளிமண்டல பறத்தலின் போது தூக்கலும் இழுவையும் விசைகளைக் கட்டுப்படுத்தவும் , இயக்கவும் உந்துதல் திசையினை சீரமைக்கவும். இருப்பினும் , வானியல் கண்காணிப்புத் தகவல்தொடர்புகள் அல்லது சூரிய ஆற்றலாக்க நோக்கங்களுக்காக விண்கலத்தை ஒரு நிலையான திசையில் வைத்திருக்க அல்லது செயலற்ற வெப்பக் கட்டுப்பாட்டிற்காக கட்டுப்படுத்திய சுழற்சியில் வைக்க அல்லது விண்கலத்திற்குள் செயற்கை ஈர்ப்பை உருவாக்குவதற்காக திசைவைப்புக் கட்டுப்பாடு பெரும்பாலும் பேணப்படுகிறது.

திசைவைப்புக் கட்டுப்பாடு என்பது உறழ் சட்டகம் அல்லது மற்றொரு உறுப்படி (வான கோளம், சில புலங்கள்,அருகிலுள்ள பொருள்கள் போன்றவை) தொடர்பாக பேணப்படுகிறது.. ஒரு விண்கலத்தின் திசைவைப்பு , (உருளல், திரும்பல், கவிழல் எனும்) சுழற்சியின் மூன்று செங்குத்தான அச்சுகளுடன் தொடர்புடைய கோணங்களால் விவரிக்கப்படுகிறது. ஒரு மேற்கோள் விண்மீன் அல்லது சூரியனின் கோணங்களை தீர்மானிப்பது போன்ற வெளிப்புற வழிகாட்டுதல் முறையைப் பயன்படுத்தி அளவுத்திருத்தத்தினாலும் திசைவைப்பைக் தீர்மானிக்க முடியும் , பின்னர் உள்ளக எந்திர அல்லது ஒளியியல் கொட்புநோக்கிகளின் உறழ்வு(நிலைம) அமைப்பைப் பயன்படுத்தியும் கண்காணிக்கப்படுகிறது. திசை திருப்பம் என்பது மூன்று கோணங்களில் உள்ள கணநேரத் திசையன் மூன்று அச்சுகளிலும் உள்ள கணநேர சுழற்சி விகிதங்களால் விவரிக்கப்படும். கட்டுப்பாட்டின் கூறுபாடு, கணநேர திசைவைப்பு, உருள்வீதங்கள், உருள்வீதங்களை மாற்றும் திறன் பற்றிய விழிப்புணர்வையும் எதிர்வினை கட்டுப்பாட்டு அமைப்பு அல்லது பிற வழிகளைப் பயன்படுத்தி ஒரு புதிய திசைவைப்பை ஏற்கவைத்தல் ஆகிய இரண்டையும் குறிக்கிறது.

நியூட்டனின் இரண்டாவது விதி நேரியல் இயக்கத்திற்கு பதிலாக சுழற்சிக்கு பயன்படுத்தப்படுகிறது$${\boldsymbol {\tau }}_{x}=I_{x}{\boldsymbol {\alpha }}_{x},$$ இங்கே, https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbfae3d013d6867c638ac92d779b0ed9576598a2 என்பது விண்கலத்தின் மீது சுழற்சி அச்சில் செலுத்தப்படும் நிகர திருக்கம். Ix என்பது அந்த அச்சில் அதன் உறழ்வுநிலையாகும் ( இது அச்சில் பொருண்மையையும் அதன் பரவலையும் இணைக்கும் ஒரு இயற்பியல் பண்பு) . $\alpha _{x}$ என்பது அச்சில் ரேடியன் அலகில் உள்ள ஒரு நொடிக்கான.கோண முடுக்கம் எனவே, முடுக்கவீதம் , நொடியின் இருபடிக்கு அமையும் பாகைகளில், $${\boldsymbol {\alpha }}_{x}={\tfrac {180}{\pi }}{\boldsymbol {\tau }}_{x}/I_{x},$$நேரியல் இயக்கத்திற்கு ஒத்த கோண சுழற்சி வீதம், https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0856f5967e03fd30c548ecbb5d7f487a9158a38 (நொடிக்கான பாகையில்) ஆகும். α மதிப்பை நேரத்தால் தொகைத்து ${\boldsymbol {\omega }}_{x}$ பெறப்படுகிறது. $${\omega _{x}}=\int _{t_{0}}^{t}{\alpha _{x}}dt$$கோண சுழற்சி ${\boldsymbol {\theta }}_{x}$ சுழற்சி வீத நேரத் தொகைப்பு ஆகும்

$$\theta _{x}=\int _{t_{0}}^{t}{\omega _{x}}dt$$

மேலும், உருளல், திரும்பல், கவிழல் ஆகிய மூன்று முதன்மை அச்சுகளைப் பற்றிய உறழ்வுநிலைத் திருப்புமைகளான, Ix, I_y, Iz விண்கலப் பொருண்மை மையத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன.

ஒரு ஏவூர்திக்கான கட்டுப்பாட்டுத் திருக்கம் சில நேரங்களில் காற்றியக்கவியலாக நகரக்கூடிய துடுப்புகளால் வழங்கப்படுகிறது , மேலும் பொதுவாக பொருண்மை மையத்தைச் சுற்றி உந்துதலை திசையன் செய்ய கிம்பல்களில் பொறிகளை ஏற்றுவதன் மூலம். வாகனத்தைச் சுற்றி அமைந்துள்ள உந்துவிசைக் குழுமங்களின் தொகுப்பான எதிர்வினை கட்டுப்பாட்டு அமைப்பு மூலம் இல்லாத காற்றியக்க சக்திகளை இயக்கும் விண்கலத்திற்கான திருக்கம் அடிக்கடி பயன்படுத்தப்படுகிறது. தேவைப்படும் சுழற்சி வீதத்தை அடைய உந்துபொறிகள் கைமுறையாகவோ அல்லது தானியங்கி வழிகாட்டுதல் கட்டுப்பாட்டின் கீழோளெரியூட்டப்படுகின்றன , பின்னர் தேவைப்படும் நிலையில் சுழற்சியை நிறுத்த எதிர் திசையில் எரியூட்டப்படுகின்றன. ஒரு குறிப்பிட்ட அச்சில் உள்ள திருக்கம்,$${\boldsymbol {\tau }}=\sum _{i=1}^{N}(\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {F} _{i}),$$இங்கு r என்பது நிறை மையத்திலிருந்தான தொலைவு. F என்பது ஒரு தனிப்பட்ட பொறியின் உந்துவிசைன(r க்கு செங்குத்தாக F இன் கூறு மட்டுமே சேர்க்கப்பட்டுள்ளது.)

எரிபொருள் நுகர்வு ஒரு சிக்கலாக இருக்கும் சூழ்நிலைகளில் (நீண்ட கால செயற்கைக்கோள்கள் அல்லது விண்வெளி நிலையங்கள் போன்றவை) கட்டுப்பாட்டுத் திருக்கத்தை வழங்க ,எதிர்வினை சக்கரங்கள் அல்லது கட்டுப்பாட்டுக் கொட்புநோக்கிகள் போன்ற மாற்று வழிமுறைகளைப் பயன்படுத்தலாம்.

மேற்கோள்கள்

• Anderson, John D. (2004), Introduction to Flight (5th ed.), McGraw-Hill, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-07-282569-3
• Bate, Roger B.; Mueller, Donald D.; White, Jerry E. (1971), Fundamentals of Astrodynamics, Dover
• Beer, Ferdinand P.; Johnston, Russell, Jr. (1972), Vector Mechanics for Engineers: Statics & Dynamics, McGraw-Hill{{citation}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Drake, Bret G.; Baker, John D.; Hoffman, Stephan J.; Landau, Damon; Voels, Stephen A. (2017). "Trajectory Options for Exploring Mars and the Moons of Mars". NASA Human Spaceflight Architecture Team (Presentation). 
• Fellenz, D.W. (1967). "Atmospheric Entry". Marks' Standard Handbook for Mechanical Engineers (Seventh). Ed. Theodore Baumeister. New York City: McGraw Hill. 11:155–58. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-07-142867-4. 
• Glasstone, Samuel (1965). Sourcebook on the Space Sciences. D. Van Nostrand Company, Inc.
• Hintz, Gerald R. (2015). Orbital Mechanics and Astrodynamics: Techniques and Tools for Space Missions. Cham. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 9783319094441. இணையக் கணினி நூலக மைய எண் 900730410.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
• Kromis, A.J. (1967). "Powered-Flight-Trajectory Analysis". Marks' Standard Handbook for Mechanical Engineers (Seventh). Ed. Theodore Baumeister. New York City: McGraw Hill. 11:154–55. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-07-142867-4. 
• Mattfeld, Bryan; Stromgren, Chel; Shyface, Hilary; Komar, David R.; Cirillo, William; Goodliff, Kandyce (2015). Trades Between Opposition and Conjunction Class Trajectories for Early Human Missions to Mars (PDF) (Report). பார்க்கப்பட்ட நாள் July 10, 2018.
• Perry, W.R. (1967). "Orbital Mechanics". Marks' Standard Handbook for Mechanical Engineers (Seventh). Ed. Theodore Baumeister. New York City: McGraw Hill. 11:151–52. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-07-142867-4. 
• Russell, J.W. (1967). "Lunar and Interplanetary Flight Mechanics". Marks' Standard Handbook for Mechanical Engineers (Seventh). Ed. Theodore Baumeister. New York City: McGraw-Hill. 11:152–54. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-07-142867-4. 
• Sidi, M.J. "Spacecraft Dynamics & Control. Cambridge, 1997.
• Thomson, W.T. "Introduction to Space Dynamics." Dover, 1961.
• Wertz, J.R. "Spacecraft Attitude Determination and Control." Kluwer, 1978.
• Wiesel, W.E. "Spaceflight Dynamics." McGraw-Hill, 1997.

.