சீனிவாச இராமானுசன்

சீனிவாச இராமானுசன் (Srinivasa Ramanujan, திசம்பர் 22, 1887 – ஏப்ரல் 26, 1920) இந்தியாவில் தமிழ்நாட்டில் ஈரோடு மாவட்டத்தில் கோட்டை பகுதியில் பிறந்த கணித அறிஞர் ஆவார். இவர் தனது 33 அகவை முடியும் முன்னரே இறந்துவிட்டார். இவர் சிறு வயதிலேயே யாருடைய உதவியும் இல்லாமல் மிக மிக வியப்பூட்டும் விதத்தில் கணிதத்தின் மிக அடிப்படையான ஆழ் உண்மைகளைக் கண்டுணர்ந்தார். 1914-ஆம் ஆண்டுக்கும், 1918-ஆம் ஆண்டுக்கும் இடைப்பட்ட காலத்தில் மூவாயிரத்திற்கும் அதிகமான புதுக் கணிதத் தேற்றங்களைக் கண்டுபிடித்தார். எண்களின் பண்புகளைப் பற்றிய எண் கோட்பாடுகளிலும், செறிவெண் கோட்பாடுகளிலும் இவர் கண்டுபிடித்துக் கூறிய ஆழ் உண்மைகள் இன்று அடிப்படை இயற்பியற் துறை முதல் மின்தொடர்புப் பொறியியல் துறை வரை பல துறைகளில் உயர்மட்டங்களில் பயன்படுத்தப்பட்டு வருகின்றன. இராமானுசனின் பெயரால் 1997 இல் The Ramanujan Journal என்னும் கணித ஆய்விதழ் ஒன்று தொடங்கப்பட்டுள்ளது.

சீனிவாச இராமானுசன் Srinivasa Ramanujan FRS
பிறப்பு	(1887-12-22)22 திசம்பர் 1887 ஈரோடு, சென்னை மாகாணம், இந்தியா
இறப்பு	26 ஏப்ரல் 1920(1920-04-26) (அகவை 32) கும்பகோணம், சென்னை மாகாணம், இந்தியா
வேறு பெயர்கள்	சீனிவாச இராமானுசன் ஐயங்கார்
குடியுரிமை	இந்தியர்
துறை	கணிதம்
பணியிடங்கள்	திரித்துவக் கல்லூரி, கேம்பிறிச்சு
கல்வி	அரசினர் கலைக் கல்லூரி (பட்டமில்லை) பச்சையப்பன் கல்லூரி (பட்டமில்லை) திரித்துவக் கல்லூரி, கேம்பிறிச்சு (இளங்கலை, 1916)
ஆய்வேடு	பகு எண்கள் (1916)
கற்கை ஆலோசகர்கள்	சி. எச்சு. ஆரிடி சே. ஈ. இலிட்டிலுட்டு
அறியப்படுவது	இலந்தாவு–இராமானுசன் மாறிலி போலி தீட்டா சார்புகள் இராமானுசன் ஊகம் இராமானுசன் முதன்மை இராமானுசன்–சோல்டினர் மாறிலி இராமானுசன் தீட்டா சார்பு இராமானுசன் கூட்டு இராசர்சு–இராமானுசன் அடையாளங்கள் இராமானுசரின் தலையாய தேற்றம் இராமானுசன்–சட்டோ தொடர்கள்
தாக்கம்  செலுத்தியோர்	சி. எசு. கார்
பின்பற்றுவோர்	சி. எச்சு. ஆரிடி
விருதுகள்	அரசக் கழக ஆய்வாளர்
கையொப்பம்

பிறப்பு

தஞ்சாவூர் மாவட்டம், கும்பகோணம் சாரங்கபாணி தெருவில் வாழ்ந்த சீனிவாசனுக்கும் கோமளத்திற்கும் 1887 ஆம் ஆண்டு டிசம்பர் திங்கள் 22 ஆம் நாள் ஈரோட்டில் பிறந்தவர் இராமானுசன். இவர் பெற்றோருக்கு இவருக்குப் பின்னர் மூன்று குழந்தைகள் பிறந்து ஓரிரு ஆண்டுகளிலேயே இறந்துபோயினர்.இவர் பிறந்து மூன்று ஆண்டுகள் வரை பேசும் திறன் இல்லாமல் இருந்தார்.

இராமானுஜனின் தந்தையாரும் தந்தைவழிப் பாட்டனாரும் துணிக் கடைகளில் எழுத்தராகப் பணியாற்றி வந்தனர். தாய்வழிப் பாட்டனாரும் ஈரோட்டு முனிசீப்பு அறமன்றத்தில் அமீனாக வேலை பார்த்தவர். ஆகவே இவர் எளிய குடும்பத்தில், ஏழ்மையான நிலையில் இருந்தார்.

கல்வி

இராமானுசம் தாய்வழி தாத்தா வேலைபார்த்த கடை 1891 ஆம் ஆண்டில் காஞ்சிபுரத்திற்கு இடம்மாறியதால், இவர் குடும்பமும் காஞ்சிபுரம் வந்தது. 1892ஆம் ஆண்டில் காஞ்சிபுரத்தில் இருந்த தொடக்கப்பள்ளி ஒன்றில் இராமானுசன் தொடக்கக் கல்வியைப் பெறத் தொடங்கினார். 1894 ஆம் ஆண்டில் அவர் தெலுங்கு வழி கல்விக்கு மாற்றப்பட்ட சில நாள்களிலேயே அவரது குடும்பம் கும்பகோணத்திற்கு இடம்பெயர்ந்தது. அங்கு கல்யாணம் தொடக்கப் பள்ளியில் சேர்ந்து கல்வி கற்றார். 1897 ஆம் ஆண்டில் மாவட்டத்திலேயே முதலிடம் பெற்று தொடக்கக்கல்வியை நிறைவு செய்தார்.

1897 ஆம் ஆண்டில் கும்பகோணம் நகர் உயர்நிலைப் பள்ளியில் ஆறாம் வகுப்பில் சேர்க்கப்பட்டார். அவ்வாண்டிலிருந்து முறையாகக் கணிதம் கற்கத் தொடங்கினார்.

கும்பகோணத்தில் சாரங்கபாணித் தெருவில் உள்ள இராமானுசனின் வீடு

கணக்கியலர்

கணிதக் குறியீடுகளின் காடுகளில் புகுந்து திறம்பட வினையாற்றி வெளியே வெற்றியுடன் வரக்கூடிய கணித இயலாளரைக் கணக்கியலர் (algorist) என்பர். முழுக்கணித வரலாற்றிலும் கணக்கியலர்கள் என்று மூன்றே பேரைக் குறிப்பிட்டுச் சொல்கிறார்கள். கணக்கியலருக்கு புதுப்புதுக் கணிதச் சிக்கல்களை கணக்கிட்டு விடுவிப்பதே இயல்பு. அவர் கையாளும் உத்திகள் முன்பின் வழக்கமில்லாததாக இருக்கும். வெறும் மாறிகளிருக்குமிடத்தில் சார்புகளைப் பொறுத்தி சிக்கலை இன்னும் கடினமாக்குவது போல் தோன்றும் அளவுக்கு பெரிதாக்கி, அரிய மேதைகளெல்லாம் செய்யமுடியாததை செய்து முடிப்பர். தூய கணிதம் கட்டாயமாக வேண்டும் ஒருங்கல் (convergence), இருப்பு (existence), முதலிய கட்டுப்பாடுகளைப் பொருட்படுத்தாமல் அவர்களுடைய உள்ளுணர்வின் போக்கிலேயே வானத்தில் பறந்து பிரச்சினையின் இருண்ட பாகங்களுக்கு சரியானபடி வெளிச்சம் தெரியச் செய்துவிடுவர். சில சமயம் தவறுதலான விடைக்கே சென்றிருந்தாலும் அவர் காட்டிய வெளிச்சம் இதர கணித இயலருக்கு புதுப் பாதைகளை வகுத்து கணித முன்னேற்றத்திற்கு முன்னோடியாகி விடும் விந்தையையும் வரலாறு சொல்லும். இப்படியெல்லாம் இருந்தவர் தான் இந்திய மேதைக் கணக்கியலர் சீனிவாச இராமானுஜன்.

கற்பிக்கப்படாத மேதை

மற்ற இரு கணக்கியலர்கள் லியோனார்டு ஆய்லர் (1707–1783) மற்றும் கார்ல் குஸ்டாவ் ஜாகோபி (1804–1851). ஆனால் இவ்விருவருக்கும் கல்லூரிப் படிப்பின் முழு வலுவும் ஆழமான அடித்தளமாக இருந்தது. இராமானுஜனுக்கோ முறையான கல்லூரிப் படிப்பிற்கு வாய்ப்பில்லாமல் போய்விட்டது. எவரும் அவரை திருத்திக் கற்பிக்கும் முன்னமேயே அவர் ஒரு பெரிய கணித வல்லுனர் ஆகிவிட்டார். ஆய்லருடனோ அல்லது ஜாகோபியுடனோ, ஏன், எந்தக் கணித வல்லுனருடனோ அவரை ஒப்பிட்டாலும் அவரை ‘படிக்காதவர்’ என்றே கூறவேண்டும். தன்னால், தானே கற்பித்துக் கொண்ட மேதை அவர். 18, 19 வது நூற்றாண்டுகளில் அடுக்கு அடுக்காக உலகை மேவிய கணிதம் யாவும் அவர் வழியில் தட்டுப்படாமலே அவரால் உலகிலுள்ள அத்தனை கணித இயலர்களுக்கும் புதிதாகச் சொல்வதற்கு எவ்வளவோ இருந்தது. இருபதாவது நூற்றாண்டில் ஒரு விண்மீன் போல் அவர் திடீரென்று தோன்றியதும், உலகில் அப்பொழுது மேன்மையானதென்றுப் பெயர் பெற்றிருந்த பல பல்கலைக் கழகங்களில் முறைப்படி அவருடைய ஆராய்ச்சிக் கருத்துக்கள் அரங்கேறியதும் ஒரு சுவையான பரபரப்புக் கணித வரலாறு. குறிப்பாக அது இந்திய தேசத்திற்குச் சிறந்த பெருமையைத் தந்தது.

பள்ளிப் பருவத்திலேயே கணித ஆய்வு

பழமையில் ஊறியிருந்த தென்னிந்திய பிராம்மண குடும்பத்தில் அவர் பிறந்தார். பத்து வயதிற்குள்ளேயே இச்சிறுவனுடைய கணித வல்லமையும் நினைவாற்றலும் ஆசிரியர்களுக்கு ஒரு புதிராக இருந்தது. ஆரம்பப் பள்ளியின் கடைசித் தேர்வில் மாவட்டத்திலேயே முதலாவதாகத் தேறியதால் அவனுக்கு கும்பகோணம் டவுன் மேல்நிலைப் பள்ளியில் அரைச்சம்பளக் கல்விச் சலுகை கிடைத்தது. 12வது வயதில் லோனி எழுதிய முக்கோணவியல் (Trigonometry) என்ற பாட புத்தகத்தை கல்லூரியில் இளங்கலை வகுப்பில் படித்துக் கொண்டிருந்த தன் அண்டை வீட்டு மாணவனிடமிருந்து கடன் வாங்கி படிக்கத் தொடங்கினான். தன்னைவிட 7, 8 வயது சிறியவனான இப்பள்ளி மாணவன் இக்கல்லூரிப் பாடபுத்தகத்தை ஒரே வாசிப்பில் முடித்ததோடு மட்டுமல்லாமல் அதிலிருந்த எல்லா கணக்குகளையும் தானே போட்டு முடித்து விட்டான் என்றதும் அந்தக் கல்லூரி மாணவனுக்கு ஒரே வியப்பு. முக்கோணவியல் என்ற பெயர் இருந்தாலும் அப்புத்தகத்தில் சில உயர் கணித விஷயங்கள், உதாரணமாக, பகுவியலில் (Analysis) கூறப்படும் தொடர் வினை (Continuous processes) களைப் பற்றிய விஷயங்கள், அடுக்குக்குறிச் சார்பு (exponential function), கலப்பு மாறியின் மடக்கை (logarithm of a complex variable), மிகைபரவளைவுச் சார்புகள் (hyperbolic functions) முடிவிலாத் தொடர்கள் மற்றும் பெருக்கீடுகள் (infinite series and products) இதைப்போன்ற கணிதத்தின் உயர்தரப் பொருள்களெல்லாம் பாடத்திற்கு எடுத்துக் கொள்ளப் பட்டிருந்தன. இவைகளைப் பற்றி அப்புத்தகத்தில் சொல்லப்பட்டிருந்தது துல்லியக் குறைவாகத்தான் இருந்ததென்றாலும் அப்புத்தகம் தான் சிறுவன் இராமானுஜனுக்கும் இவ்வுயர் கணிதப் பொருள்களுக்கும் ஏற்பட்ட முதல் நட்பு. இதைவிட ஒரு தரமான புத்தகம் அவன் கையில் கிடைக்காதது விதியின் விளையாட்டு போலும். விட்டேகருடைய ‘தற்காலப்பகுவியல்’ (Modern Analysis) உலகத்தில் அப்பொழுதுதான் வந்துவிட்டிருந்தது ஆனால் கும்பகோணம் வரையில் வரவில்லை. பிராம்விச்சுடைய முடிவிலாத்தொடர்கள் (Infinite Series), கார்ஸ்லா வுடைய ஃபோரியர் தொடரும் தொகையீடுகளும் (Fourier Series and Integrals), பியர்பாயிண்டுடைய மெய்மாறிச் சார்புகளின் கோட்பாடு (Theory of functions of a real variable), ஜிப்ஸனுடைய நுண்கணிதம் (Calculus) ஆகியவைகள் அப்பொழுதுதான் எழுதப்பட்டுக் கொண்டிருந்த காலம். இவையெல்லாம் இராமானுஜனுக்குக் கிடைத்திருந்தால் கணித உலகின் வரலாறே மாறியிருக்குமா இருக்காதா என்பதில் இன்றும் கணித இயலர்களுக் கிடையில் மாறுபட்ட கருத்துகள் நிலவி வருகின்றன.

இராமானுஜனுடைய ஆய்வுக்குறிப்பேடுகள் ("நோட்புக்குகள்")

சிறுவன் இராமானுஜன் லோனியின் முக்கோணவியலையும் கார் என்பவருடைய தொகையையும் (Carr’s Synopsis) ஆர்வத்துடன் படித்துக் கொண்டிருந்தான். தூய கணிதத்தின் அடிமட்டத் தேற்றத் தொகை என்று பெயர்கொண்ட அந்தப்புத்தகம், சிறுவன் இராமானுஜனுடைய வாழ்க்கையில் வந்ததால் தனக்கென்று வரலாற்றில் ஒரு அழியாத இடத்தைப் பெற்றுக் கொண்டது. அப்புத்தகத்தின் உட்பொருள் அவனை அப்படியே ஈர்த்து, அவனுடைய சக்திகளெல்லாவற்றையும் உசுப்பி விட்டது . அப்படியொன்றும் அது பெரிய நூலோ அல்லது பொருள் பொதிந்ததோ அல்ல. அதில் ஏறக்குறைய 6000 தேற்றங்கள் இருந்தன. பாதிக்கு சரியான நிறுவல்கள் இல்லை; இருந்தவையும் நிறைவற்றதாகவே இருந்தது. இராமானுஜனுக்கு இதெல்லாம் ஒரு தவிர்க்கமுடியாத, எனினும் சுவையான, சவாலாக அமைந்தன. அதிலிருந்த ஒவ்வொரு தேற்றத்திற்கும் சிறுவன் தன் மூளையில் தோன்றிய நிறுவல்களை ஒரு குறிப்பேட்டில் (நோட்புக்கில்) எழுதி வந்தான். இவ்வாய்வில் அவனுக்கே புதிய தேற்றங்களும் தோன்றத் தொடங்கின. எல்லாவற்றையும் எழுதினான். இப்படியே 16 வயதுக்குள் கணித இயலர் என்ற தகுதியை தனக்குள் அடைந்து விட்டான். ஆனால் அவனை உலகம் கணித இயலராகப் பார்க்க இன்னும் பத்து ஆண்டுகள் தேவைப்பட்டன.

இளமையும் கல்வியும்

இராமானுசன் அஞ்சல் தலை

1903 டிசம்பரில் சென்னைப் பல்கலையின் மெட்ரிகுலேஷன் தேர்வில் முதல் வகுப்பில் தேர்ச்சி பெற்றார். அதன் காரணமாக கும்பகோணம் அரசுக் கல்லூரியில் F.A. (இந்தக்காலத்து 11, 12 வது) வகுப்பிற்கு ‘சுப்பிரமணியம் உபகாரச்சம்பளம்’ பெற்றான். அவன் கற்க வேண்டியிருந்த பாடங்கள் ஆங்கிலம், கணிதம், உடற்செயலியல், ரோமானிய கிரேக்க வரலாறு, மற்றும் வடமொழி. ஆனால் கணிதம் தான் அவனுடைய காலத்தையும் சக்தியையும் விழுங்கிக்கொண்டது. கணிதம் தவிர மீத மெல்லாவற்றிலும் தேர்வில் தோல்வியே கண்டான். உபகாரச் சம்பளத்தை இழந்தான். கும்பகோணத்தை விட்டு எங்கோ ஆந்திர மண்ணில் தன்னை இழந்து சுற்றித் திரிந்தான். ஓராண்டு காலம் கழித்துத் திரும்பி கும்பகோணம் அரசுக் கல்லூரிக்கே வந்து சேர்ந்தான். ஆனால் 1905 டிசம்பர் தேர்வுக்கு வேண்டியிருந்த உள்ளமைச் சான்று (attendance certificate) கிடைக்காததால் தேர்வு எழுத முடியவில்லை. கும்பகோணம் கல்லூரியும் அத்துடன் அவனை இழந்தது.பின்னர் இவர் பச்சையப்பா கல்லூரியிலும் கல்வி கற்றார். இங்கு எஸ்.பி.சிங்காரவேலு முதலியாரிடம் கணிதம் கற்றார். இருவரும் சேர்ந்து விவாதித்து விடை காண்பார்கள்.[ எஸ்.பி.சிங்காரவேலு முதலியார் சுவாமி விவேகானந்தரின் சென்னை சீடர்களில் ஒருவர். இவரை ’கிடி’ என்று செல்லமாக அழைப்பது சுவாமி விவேகானந்தரின் வழக்கம்]. இன்றும் சென்னை பச்சையப்பா கல்லூரியில் கணிதத்தில் முதலிடம் பெறும் மாணவர்களுக்கு ’எஸ்.பி.சிங்காரவேலு முதலியார்’ பரிசு ஆண்டுதோறும் வழங்கப்படுகிறது.

1907-11 இல் படைப்பு வெள்ளம்

மோசமான உடல்நிலை காரணமாக கும்பகோணம் திரும்ப வேண்டியிருந்தபோது, தனது நோட்டு புத்தகங்களை தன் வகுப்புத் தோழரிடம் கொடுத்து, ஒருவேளை தான் இறந்து விட்டால், சிங்காரவேலு முதலியார் அல்லது எட்வர்டு பி.ரோஸ் (Edward B. Ross) அல்லது மெட்ராஸ் கிரிஸ்டியன் காலேஜுக்கு கொடுத்துவிடும்படி கேட்டுக் கொண்டிருந்தார். ஆனால் அவனுடைய ‘நோட்புக்குகள்’ அவனை இழக்கவில்லை. சென்னை பல்கலைக் கழகத்தின் முதல் நூலகத் தலைவராக இருந்த பேராசிரியர் எஸ். ஆர். ரங்கனாதன் எழுதுகிறார் (அவரே ஒரு கணித வல்லுனரும் கூட): “உள்ளிருந்து அவனை ஒரு ஜோதி ஊக்குவித்த வண்ணம் இருந்தது. கணித ஆய்வுகள் அவனுக்கு தெவிட்டாததாகவும் தவிர்க்க முடியாததாகவும் இருந்தது. F.A.தேர்வு கூட தேறமுடிய வில்லையே என்ற ஏக்கம் அவனுடைய கணித ஊக்கத்தை ஒன்றும் செய்ய முடியவில்லை. வேலையில்லாமல் வளய வருவதும் அவனுடைய ஆய்வுகளின் தரத்தையோ அளவுகளையோ குறைக்கவில்லை. சூழ்நிலை, பொருளாதாரம், சமூக கௌரவம் ஒன்றும் அவனுக்கு ஒரு பொருட்டாக இருக்கவில்லை. அவன் மனதிலும் கையிலும் இருந்ததெல்லாம் விந்தைச்சதுரங்கள் (Magic Squares) , தொடர் பின்னம் (Continued Fractions), பகா எண்களும் கலப்பு எண்களும் (Prime and Composite Numbers), எண் பிரிவினைகள் (Number Partitions), நீள்வட்டத் தொகையீடுகள் (Elliptic Integrals), மிகைப்பெருக்கத் தொடர் (hypergeometric series), இவையும், மற்றும் இவையொத்த மற்ற உயர்தர கணிதப்பொருள்கள் தாம். இவைகளைப் பற்றிய அவனுடைய கண்டுபிடிப்புகளை யெல்லாம் தன்னுடைய மூன்று நோட்புக்குகளில் எழுதினான். நிறுவல்கள் அநேகமாக எழுதப்படவில்லை. தற்காலத்தில் இந்த நோட்புக்குகளின் நகல்கள் (212, 352, 33 பக்கங்கள் கொண்டவை) டாடா அடிப்படை ஆய்வுக் கழகம், சென்னைப் பல்கலைக் கழகம், ஸர் தோரப்ஜி டாடா அறக்கட்டளை ஆகிய மூன்று அமைப்புகளின் ஒத்துழைப்பினால் பிரசுரிக்கப் பட்டிருக்கின்றன. 1985இலிருந்து 2005 வரையில், ப்ரூஸ் பர்ண்ட் என்பவருடைய விரிவான குறிப்புகளுடன் ஐந்து புத்தகங்களாக வெளிவந்திருக்கின்றன. அவைகளில் 3542 தேற்றங்கள் இருக்கின்றனவென்றும், ஏறக்குறைய 2000க்கும் மேற்பட்ட தேற்றங்கள் அவர் வாழ்ந்த காலத்திற்கு முன்னால் கணித உலகிற்குத் தெரியாத தேற்றங்கள் தான் என்றும் சொல்கிறார் ப்ரூஸ் பர்ண்ட்.[https://web.archive.org/web/20070613130210/http://www.hinduonnet.com/fline/fl1617/16170810.htm பரணிடப்பட்டது 2007-06-13 at the வந்தவழி இயந்திரம்

கலங்கரை வெளிச்சத் தொடர்

சீனிவாச இராமானுஜன் தனது 22வது வயதில் ஒன்பதே வயது நிரம்பியிருந்த ஜானகியைக் கைப்பிடித்தார். 1910இல் இந்தியக்கணிதக் கழகத்தைப்பற்றி கேள்விப்பட்டார். இதற்கு மூன்றாண்டுகளுக்கு முன்னர்தான் இக்கழகம் இணை ஆட்சியராக இருந்த பேராசிரியர் வி. ராமஸ்வாமி அய்யர் என்பவரால் துவக்கப்பட்டிருந்தது. இராமானுஜன் அவரது உதவியை நாடி திருக்கோவிலூருக்கு ஓடினார். இராமானுஜன் என்ற மேதையை உலகுக்கு அறிவிக்கும் கலங்கரை வெளிச்சத் தொடர் சங்கிலியில் முதல் வளையமாக இருந்தவர் இந்த ராமஸ்வாமி அய்யர் தான். அவருடைய அறிமுகத்தில் பேராசிரியர் சேஷு அய்யர் அணுகப்பட்டார். அவர் நெல்லூர் மாவட்ட ஆட்சியராக இருந்த திவான் பகதூர் ஆர். ராமச்சந்திரராவிடம் அனுப்பினார். டிசம்பர் 1910 இல் முதலில் நடந்த சந்திப்பில் வள்ளல் ராமச்சந்திர ராவினுடைய மனதைத் தொட்ட போதிலும் இராமானுஜனின் மேதை அவருடைய அறிவைத் தொடவில்லை. அடுத்த முறை சந்தித்தபோது இராமானுஜன் தன்னுடைய கண்டுபிடிப்புகளில் எளிதில் புரிந்துகொள்ளக் கூடியவைகளை மாத்திரம் காட்டினார். அவைகளிலிருந்து அவர் இராமானுஜன் கணிதத்தில் சாதனை செய்யக்கூடியவர் என்று அறிந்து கொண்டு இராமானுஜனுடைய செலவுகளைச் சிறிது காலத்திற்கு தானே ஏற்று நடத்தி வந்தார்.

இராமானுஜன் இவ்வேற்பாட்டை நெடுநாள் வைத்துக் கொள்வதில் விருப்பமில்லாமல் சென்னை துறைமுக அலுவலகத்தில் ஒரு எழுத்தர் வேலையை ஏற்றுக் கொண்டார். ஆனால் கணிதத்தில் அவருடைய ஈடுபாடும் ஆராய்ச்சியும் தொடர்ந்து நடைபெற்று வந்தது. 1911 இல் இந்தியக்கணிதக் கழகத்தின் ஆய்வுப் பத்திரிகையில் (Journal) இராமானுஜனின் முதல் ஆய்வுக்கட்டுரை பிரசுரிக்கப்பட்டது. இதற்குள்ளாக, சென்னை துறைமுக அலுவலகத்தின் தலைவரான ஸர் பிரான்ஸிஸ் ஸ்பிரிங் என்பவரும் இராமானுஜத்தைப் பற்றி கேள்விப்பட்டு அவரைப் பற்றி விசாரிக்கத் தொடங்கினார். துறைமுக அலுவலகத்தில் ஓர் எழுத்தர் கணிதத்தில் சாதனைகள் புரிந்து வருகிறார் என்ற செய்தி பரவலாக சென்னை கல்விக் கூடங்களில் பேசப்படத் துவங்கியது. சென்னைப் பல்கலைக் கழகத்தில் அவருக்கு ஒரு நிலையான உதவிச் சம்பளம் வாங்கித் தந்துவிட பல பேர் முயன்றனர். இந்த முயற்சியில் சம்பந்தப்பட்டவர்கள் ராமச்சந்திர ராவ், சென்னை பொறியியல் கல்லூரிப் பேரா. சி.எஸ்.டீ. க்ரிஃப்பித், லண்டன் பல்கலைக் கழகத்தைச் சேர்ந்த பேரா. எம். ஜி.எம். ஹில், முனைவர் கில்பர்ட் வாக்கர் (தலைவர், இந்திய வானிலைத்துறை), பேரா.பி. ஹனுமந்த ராவ் (தலைவர், சென்னை பல்கலைக் கழகத்தின் பாட மையம்), மற்றும் நீதிபதி பி. ஆர். சுந்தரம் அய்யர். இந்த முயற்சிக்கெல்லாம் பயன் கிடைத்தது. மே 1, 1913 முதல் இராமானுஜன் (அவரது 26வது வயதில்) சென்னை பல்கலைக் கழகத்தில் மாதம் ரூ.75 சம்பளத்துடன் ஆராய்ச்சியாளராக நியமிக்கப்பட்டார். அன்று தொடங்கி அவருடைய குறுகிய ஆயுள் முடிய அவருக்கு இந்த ஆராய்ச்சி தான் தொழில்.

பேரா. ஜி. ஹெச். ஹார்டி

1913 ஜனவரியில் பேரா. சேஷு அய்யரும் அவருடன் இன்னும் சிலரும் சேர்ந்து இராமானுஜனை கேம்பிரிட்ஜ் இல் பேராசிரியராக இருந்த ஜி. ஹெச். ஹார்டிக்கு கடிதம் எழுதவைத்தனர். இராமானுஜனும் கடிதத்தை எழுதி அதற்கு ஒரு சேர்ப்பாக அவருடைய சொந்தக் கண்டுபிடிப்பாக 120 தேற்றங்களையும் (நிறுவல் எதுவும் இல்லாமல்) அனுப்பித்தார். இக்கடிதம் கிடைத்தவுடன் பேரா. ஹார்டியின் முதல் எண்ணம் அக்கடிதம் குப்பையில் போடப்படவேண்டியது என்பதுதான். ஆனால் அன்று மாலை அவரும் இன்னொரு பேரா. லிட்டில்வுட்டும் சேர்ந்து அதை மறுபடியும் படித்துப் பார்த்த பொழுது, அது அவர்கள் இருவரையும் தீவிர ஆலோசனையில் ஆழ்த்தியது. அதில் பல தேற்றங்கள் அவர்களுக்கு புதிதாகவே இருந்தன. ஓரிரண்டு தவறான தேற்றங்களும் இருந்தன. புதிதாக இருந்தவைக்கு நிறுவல்கள் கொடுக்கப் படாமலிருந்ததால் அவர்களே அவைகளை நிறுவப் பார்த்தார்கள். சிலவற்றை அவர்களால் நிறுவ முடிந்தது. சிலவற்றிற்கு நிறுவலுக்காக என்ன செய்யவேண்டும் என்பதை அவர்களால் ஊகிக்க முடிந்தது. ஆனால் பல தேற்றங்களை அவர்கள் அணுகவும் முடியவில்லை, அவைகளை ஏதோ பிதற்றல் என்று ஒதுக்கவும் முடியவில்லை. உலகத்திலேயே எண் கோட்பாட்டில் பிரமாணமாக எடுத்துக் கொள்ளப் பட்டவர்களான அவர்களாலேயே அத்தேற்றங்களின் உண்மையைப் பற்றி ஒன்றுமே சொல்ல முடியாத நிலையில், இரு வல்லுனர்களும் அன்றே தீர்மானித்து விட்டனர் ‘இந்த இராமானுஜனை கேம்பிரிட்ஜுக்கு கொண்டுவந்துவிட வேண்டும்’ என்று. அத்தீர்மானம் கணிதத்தில் வரலாறு படைத்த தீர்மானம்.

ஆனாலும் இராமானுஜனால் உடனே நாடு விட்டு நாடு வர முடியவில்லை. பழமையான பண்புகளில் ஊறியிருந்த அவரது குடும்பச் சூழலின் பாதிப்பை மீறி நாட்டை விட்டுப் புறப்பட்டது மார்ச் 1914இல்தான்.

கேம்பிரிட்ஜ் பல்கலைக்கழகத்தில் சக கணிதவியலாளர்களுடன் ராமானுசன் (நடுவில் இருப்பவர்)

நான்கு பொன்னான ஆண்டுகள்

கேம்பிரிட்ஜில் ஹார்டியுடன் கூட இருந்த நான்கு ஆண்டுகளும் (1914–1918) இராமானுஜனுக்கு மட்டுமல்ல பேராசிரியர் ஹார்டிக்குமே பொன்னான ஆண்டுகள் தாம். இதை ஹார்டியே சொல்கிறார். பிற்காலத்தில், இராமானுஜன் யாருமே எதிர்பார்க்காத 32 வயதிலேயே மரணமடைந்த பிறகு ஹார்டி அவரைப் பற்றி சொல்லும்போது ‘இங்கு வருவதற்கு முன்னால் அவர் என்ன புத்தகம் படித்திருந்தார், இன்னின்ன புத்தகங்களைப் பார்த்திருந்தாரா இல்லையா என்பதை என்னால் சொல்ல முடியவில்லை. நான் கேட்டிருந்தால் ஒருவேளை சொல்லி யிருப்பாரோ என்னமோ. ஆனால் ஒவ்வொருநாள் நான் அவருக்கு காலை வணக்கம் சொல்லும்போதும் அவர் எனக்கு ஐந்தாறு புதுத் தேற்றங்களை காட்ட ஆயத்தமாயிருந்ததால் எனக்கு வேறு எதையுமே பேச வாய்ப்புமில்லை. அதைப் படித்திருக்கிறாயா, இதைப் படித்திருக்கிறாயா என்று கேட்பதும் பொருத்த மில்லாமலிருந்தது’. இராமானுஜனுடைய படைப்பாற்றல் அவ்வளவு வேகமாக இருந்தது. இருந்தாலும் பேரா. ஹார்டி இராமானுஜனுக்கு சில தேவையான விஷயங்களை சொல்லிக் கொடுக்கத்தான் செய்தார். காரணம், இராமானுஜன் அவையில்லாமல் மாற்று வழிகளுக்காக நேரத்தை செலவழித்து விடுவாரோ என்ற பயம்தான். ஆனால் ஹார்டியே பின்னால் சொல்கிறார் ‘நான் அவருக்குத் தெரியவேண்டியவை என்று சொல்லிக் கொடுத்தது சரிதானா என்று தெரியவில்லை. ஏனென்றால் நான் சொல்லிக்கொடுத்ததால் அவருடைய மேதை பரிமளிப்பதை தடை செய்திருக்கவும் கூடுமல்லவா?’. இன்னமும் சொல்கிறார்: ‘நான் அவருக்கு சொல்லிக்கொடுத்ததுதான் சரி என்று வைத்துக்கொண்டாலும், ஒன்று மாத்திரம் உண்மை. அவர் என்னிடமிருந்து கற்றதை விட நான் அவரிடமிருந்து கற்றது தான் அதிகம்’.

இந்நான்கு ஆண்டுகளில் இராமானுஜன் 27 ஆய்வுக்கட்டுரைகள் பிரசுரித்தார். அவைகளில் 7 கட்டுரைகள் ஹார்டியுடன் கூட்டாக எழுதியவை. 1918 இல் F.R.S. (Fellow of the royal Society) என்ற கௌரவம் அவருக்குக்கொடுக்கப்பட்டது. அதே ஆண்டு ட்ரினிடி கல்லூரியின் ஃபெல்லோவாகவும் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டார். இந்த இரண்டு கௌரவங்களையுமே பெற்ற முதல் இந்தியர் அவர்தான்.

சென்னைப் பல்கலைக்கழகமும் அதன் சார்பில் ராமானுஜனுக்காக ஒரு நிலையான ஏற்பாட்டைச்செய்தது. அவர் அதுவரை பெற்றுக்கொண்டிருந்த வெளிநாட்டு உபகாரச்சம்பளம் முடியும் நாளான ஏப்ரல் 1, 1919 இலிருந்து ஐந்து ஆண்டுகளுக்கு அவருக்கு ஆண்டுக்கு £250 நிபந்தனையற்ற சலுகை தருவதாக ஏற்பாடு செய்தது. புதிதாக கல்வி இயக்குனராகப் பதவியேற்றிருந்த பேரா. லிட்டில்ஹெய்ல்ஸ் அப்பொழுதுதான் மும்பையில் நடந்திருந்த இந்திய கணிதக்கழகத்தின் ஆண்டு மகாநாட்டிலிருந்து திரும்பி வந்திருந்தார். அம்மகாநாட்டில் இராமானுஜனுடைய சாதனைகளைப் போற்றித் தீர்மானங்கள் நிறைவேறியிருந்தன. பேரா. லிட்டில்ஹெய்ல்ஸும் சென்னைப் பல்கலைக்கழகத்தில் கணிதப் பேராசிரியர் பதவி ஒன்று உண்டாக்குவதற்காகவும் அந்தப் பதவிக்கு இராமானுஜனுக்கு அழைப்பு விடுப்பதற்கும் பல்கலைக் கழகத்தை கேட்டுக்கொள்ளப் போவதாகவும் அறிவித்தார். ஆனால் காலச்சக்கரம் வேறு விதமாகச் சுழன்றது.

ஒரே ஒரு இராமானுஜன் கணிதத்துளி

இராமானுஜனுடைய கணிதமேதையை எடுத்துக்காட்டுவதற்காக ஒரு சின்னஞ்சிறு துளியை கீழே காண்போம்.

முனைவர் பி.சி. மஹலனொபிஸ் என்பவர் நேரு காலத்தில் இந்தியாவின் ஐந்தாண்டுத் திட்டங்களைத் தீட்டியவர். அவர் இராமானுஜன் கேம்பிரிட்ஜில் வசித்த காலத்தில் அவரும் அங்கு படித்துக் கொண்டிருந்தார். இராமானுஜனுடைய நண்பர். இருவரும் அடிக்கடி சந்திப்பதுண்டு. ஒருநாள் இராமானுஜன் அவரை தன் விடுதிக்கு மதிய உணவருந்த கூப்பிட்டிருந்தார். இராமானுஜன் சமையல் அடுப்பருகில் வேலையில் ஈடுபட்டிருந்ததால், வந்தவர் இருக்கையில் அமர்ந்து ஸ்டிராண்ட் பத்திரிகையைப் புரட்டிக் கொண்டிருந்தார். அதனில் ஒரு கணிதப் புதிர் இருந்தது. அப்பொழுது முதலாவது உலகப்போர் நடந்துகொண்டிருந்த சமயம். “பாரிஸ் நகரில் ஒரே தெருவில் இரண்டு வீடுகளில் இரண்டு அதிகாரிகள் கைதுசெய்யப்பட்டனர்; வீட்டு கதவிலக்கங்கள் தெரியவில்லை, ஆனால் இரண்டு இலக்கங்களினூடே ஒரு கணிதத் தொடர்பு இருக்கிறது, கதவிலக்கங்கள் என்னவாக இருக்கும்?” இதுதான் புதிர். சிறிது நேரம் யோசித்ததில் மஹலனோபிஸ்சுக்கு விடை புரிந்துவிட்டது. அவர் பரபரப்புடன் அதை இராமானுஜனுடன் பகிர்ந்துகொள்ள விருப்பப் பட்டார். இராமானுஜன் சாம்பாரை கலக்கிவிட்டுக் கொண்டே, ‘சொல்லுங்கள் கேட்போம்’ என்றார். மஹலனோபிஸ் பிர்ச்சினையை எடுத்துரைத்தார். அவர் தன் விடையைச் சொல்லுமுன்பே இராமானுஜன், ‘சரி, இந்த தொடர் பின்னத்தைக் குறித்துக் கொள்ளுங்கள்’ என்று ஒரு தொடர் பின்னத்தைக் கூறி அதுதான் விடை என்றார்.

இது நமக்குப் புரிவதற்கு ஸ்டிராண்ட் பத்திரிகையில் இருந்த புதிரின் விபரம் தான் என்ன என்று தெரியவேண்டும். ஆனால் அவ்விபரம் கிடைக்கவில்லை. இருந்தாலும் இராமானுஜனின் மின்னல்வேக விடையைப் புரிந்து கொள்வதற்கு நாமாகவே அப்பத்திரிகைப் புதிர் என்ன மாதிரியில் இருந்திருக்கும் என்று ஊகிக்கலாம். இரண்டு கதவிலக்கங்களைக் கண்டுபிடிப்பது தான் பிரச்சினை. கதவிலக்கங்களை x, y என்று அழைப்போம். அவைகளுக்குள் இருந்த தொடர்பையும் நாம் இப்படி வைத்துக் கொள்ளலாம்:

$x^{2}-10y^{2}=+1or-1$

மஹலனோபிஸ் இதைப் பார்த்ததும் ஓரிரண்டு எண்களைப் பொருத்திப் பார்த்தார். x = 3, y = 1 என்ற விடை கிடைத்தது, கிடைத்தவுடன் இராமானுஜனுக்கு சொல்லத் தொடங்கிவிட்டார். ஆனால் இராமானுஜன் பிர்ச்சினையைக் கேட்டவுடனேயே, சாம்பாரைக் கலக்கிக்கொண்டே, இதன் விடை ஒரு தொடர் பின்னத்தில் இருக்கிறது என்று கீழ்வரும் தொடர் பின்னத்தை சொன்னார்:

$3+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{6+\dotsb }}}}}}}}$

இதன் பொருளை இராமானுஜனே விளக்கினார்.

இத்தொடர்பின்னத்தின் ஒவ்வொரு ஒருங்கும் ஒவ்வொருவிடையாகும். முதலாவது ஒருங்கு 3/1. x = 3, y = 1 என்பது முதல் விடை. இராமானுஜனுடைய் தொடர்பின்னவிடை அந்தத்தெருவில் முடிவிலாத எண்ணிக்கையில் வீடுகள் இருப்பதாக வைத்துக்கொண்டு, மஹலனொபிஸின் ஒரே விடைக்கு பதிலாக முடிவுறா எண்ணிக்கையில், தொடர்ந்து பல சரியான விடைகள் கொடுக்கின்றன. ஆக, மேற்படி தொடர்பின்னத்தின் 2வது ஒருங்கு

3 + 1/6 = 19/6.

x =19, y = 6 இரண்டாவது விடை.

$19^{2}-10*6^{2}=361-360=1$

மூன்றாவது ஒருங்கு:

$3+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{6}}}}$

இது கொடுக்கும் விடை: x = 117, y = 37

இதுவும் ஒரு சரியான விடைதான்.

நான்காவது ஒருங்கு 721/228. x = 721 y = 228.

இப்படியே போகிறது இராமானுஜனின் தொடர்பின்ன விடை. இராமானுஜனுடைய மேதைமை அவர் பிரச்சினையைக் கேட்டவுடனேயே இதற்கு விடை முடிவுறா தொடர்பின்னம் தான் என்று கண்டு கொண்டு அத்தொடர் பின்னத்தையும் உடனே கொடுத்தது தான்.

இன்னொரு நோட்புக்கின் அற்புதம்

துரதிருஷ்டவசமாக இராமானுஜன் இங்கிலாந்தில் ஐந்தாவது ஆண்டை மருத்துவ விடுதிகளில் கழிக்கவேண்டி ஏற்பட்டது. ஏப்ரல் 1919 இல் இந்தியா திரும்பினார். தீராத வியாதியும் கூடவே வந்தது. ஆனால் அவருடைய மனதில் ஓடிக்கொண்டிருந்த கணிதப் பிரச்சினைகளின் ஓட்டம் நிற்கவே இல்லை. இப்படித்தான் உண்டாயிற்று “இராமானுஜத்தின் தொலைந்துபோன நோட்புக்”. அது 1976இல் கண்டுபிடிக்கப்பட்டு 1987 இல் பிரசுரிக்கப்பட்டிருக்கிறது. இந்தப் புதையலில் 600 அற்புதமான தேற்றங்கள் இருக்கின்றன. ஆனால் அநேகமாக வெகு உயர்மட்டத்திலிருந்த “Mock Theta functions” என்பவைகளைப் பற்றியது இராமானுஜன் 1919–20 இல் செய்த ஆராய்ச்சிகள்.

ஆக, இராமானுஜன் கணித உலகிற்காக விட்டுப்போனது:

• மூன்று நோட்புக்குகள்

• சென்னைப் பல்கலைக் கழகத்திற்காக கொடுக்கப்பட்ட மூன்று காலாண்டு அறிக்கைப் பத்திரங்கள் (1913–1914)

• 138 பக்கங்கள் கொண்ட தொலைந்து போன நோட்புக்

• கணித இதழ்களில் பிரசுரிக்கப்பட்ட 32 ஆய்வுக்கட்டுரைகள்

இராமானுஜனின் உள்ளுணர்விலிருந்து உதயமான இக்கணிதச் சொத்து உலகின் நான்கு மூலைகளிலுள்ள கணித வல்லுனர்களையும் ஆயிரக்கணக்கான மாணவர்களையும் ஈர்த்து இருபதாவது நூற்றாண்டின் மிகப்பெரிய சாதனைகளில் ஒன்று என்று பெயர் எடுத்துவிட்டது. பால் ஏர்டோசு என்ற புகழ்பெற்ற கணித மேதை-வல்லுனர் பேரா. ஹார்டி சொன்னதாகச் சொல்கிறார்: ‘நாம் எல்லா கணித இயலர்களையும் அவர்களுடைய மேதைக்குத் தகுந்தாற்போல் வரிசைப்படுத்தி சூன்யத்திலிருந்து 100 வரை மதிப்பெண் கொடுத்தால் எனக்கு 25ம், லிட்டில்வுட்டுக்கு 30ம், ஹில்பர்ட்டுக்கு 80ம் இராமானுஜனுக்கு 100ம் கொடுக்க வேண்டி வரும்’.

ஆளுமை மற்றும் ஆன்மீக வாழ்க்கை

ராமானுஜன் சற்றே கூச்ச சுபாவம் மற்றும் அமைதியான சுபாவம் கொண்டவர், இனிமையான நடத்தை கொண்ட கண்ணியமான மனிதர் என்று விவரிக்கப்படுகிறார். அவர் கேம்பிரிட்ஜில் எளிமையாக  வாழ்ந்தார். ராமானுஜனின் முதல் இந்திய வாழ்க்கை வரலாற்றாசிரியர்கள் அவரை ஒரு கடுமையான ஆச்சார இந்து என்று விவரிக்கின்றனர். அவர் தனது புத்திசாலித்தனம் தனது குல தெய்வமான நாமக்கல்லைச் சேர்ந்த நாமகிரி தாயாரின் அருள்தான் என்றார். அவர் தனது வேலையில் உத்வேகத்திற்காக நாமகிரி தாயாரை வேண்டி நின்றார்.நாமகிரி தாயாரின் துணையான நரசிம்மரை அடையாளப்படுத்தும் இரத்தத் துளிகளைக் கனவில் காண்பதாகக் கூறினார். பின்னர், சிக்கலான கணித உள்ளடக்கத்தின் விடைகள் காகித சுருள்களை போல தன கண் முன்னே அதுவாக விரிவடையும் என அடிக்கடி சொல்வார். அவர் அடிக்கடி சொல்வதுண்டு , "கடவுளைப் பற்றிய ஒரு எண்ணத்தை வெளிப்படுத்தாத எந்த சமன்பாடும் என்னைப் பொறுத்தவரை அர்த்தமில்லாததே."

ஹார்டி ராமானுஜனுக்கு எல்லா மதங்களும் சமமாக உண்மையாகத் தோன்றியதாகக் குறிப்பிடுகிறார். :ஹார்டி மேலும் வாதிடுகையில், ராமானுஜனின் மத நம்பிக்கை, மேற்கத்தியர்களால் கொஞ்சம் கற்பனை கலந்து மிகைப்படுத்தப்பட்டது, இந்திய வாழ்க்கை வரலாற்றாசிரியர்களால் அவரது நம்பிக்கை, நடைமுறை அல்ல - மிகைப்படுத்தப்பட்டதாகவும் வாதிட்டார். அதே நேரத்தில், ராமானுஜன் கடுமையான சைவர் எனக் குறிப்பிடுகிறார்.

இதேபோல், ஃப்ரண்ட்லைனுக்கு அளித்த பேட்டியில், பெர்ன்ட், "ராமானுஜனின் கணித சிந்தனைக்கு பலர் மாய சக்திகளால் ஆனது என சொல்லுகிறார்கள். அது நம்புவதற்கில்லை  அவர் தனது மூன்று நோட்டுகளில் ஒவ்வொரு முடிவையும் உன்னிப்பாகப் பதிவு செய்துள்ளார்," என்று மேலும்  ராமானுஜன் அவரால் காகிதம்   வாங்க முடியாததால் தான் சமன்பாடுகள் இடைநிலை முடிவுகளை பலகையில் எழுதினார் என்பதும் நம்புவதற்கில்லை என்கிறார்.

சிறப்புக்கள்

• 1918 ஆம் ஆண்டில் லண்டன் ராயல் சொசைட்டியின் உறுப்பினர் ஆனார் (எஃப்.ஆர்.எஸ் பட்டம்).
• கேம்ப்ரிட்ஜ் பல்கலைக்கழகத்தின் டிரினிட்டி கல்லூரியின் ஃபெல்லோசிப் இவருக்குக் கிடைத்தது.
• ராமானுஜன் ஆய்வுகளில் "தியரி ஆஃப் ஈகுவேசன்ஸ்", "தியரி ஆஃப் நம்பர்ஸ்", "டெஃபினிட் இன்ட்டக்ரல்ஸ்", "தியரி ஆஃப் பார்டிஷன்ஸ்", "எலிப்டிக் ஃபங்ஷன்ஸ் அண்ட் கண்டினியூடு ஃப்ராக்சன்ஸ்" எனும் நிலைப்பாடுகள் மிகச் சிறந்தவைகளாகக் கருதப்படுகின்றன.
• இவருடைய "மாக் தீட்டா ஃபங்சன்ஸ்" எனும் ஆராய்ச்சி முடிவுகள் சிறப்பான ஒன்றாகும்.
• கேம்ப்ரிட்ஜ் பல்கலைக்கழகம் இவரது மரணத்துக்குப் பின் இவருடைய ஆய்வுக் கட்டுரைகள் அனைத்தையும் தொகுத்து புத்தகமாக அச்சிட்டு வெளியிட்டுள்ளது.
• சீனிவாச இராமானுசனின் 125வது பிறந்த நாளான டிசம்பர 22 2012 இல் கூகுள் தனது தேடுபொறியின் முகப்பு பக்கத்தில் அவரின் டூடுலை வெளியிட்டு சிறப்பு செய்தது
• உலகப் புகழ்பெற்ற இந்தியக் கணிதவியலாளர் ஸ்ரீனிவாச ராமானுஜனின் வாழ்க்கை வரலாற்றுத் திரைப்படம் 'ராமானுஜன்' , 2014 ஆம் ஆண்டு வெளிவந்தது  ஞான ராஜசேகரன் எழுதி இயக்கிய இப்படம், தமிழ் மற்றும் ஆங்கில மொழிகளில் படமாக்கப்பட்டது.

இவற்றையும் பார்க்கவும்

• இராமானுசன் கணிதத்துளிகள்
• ராமானுஜன் - திரைப்படம் தமிழில் - Youtube

உசாத் துணை நூல்கள்

• Collected Papers of Srinivasa Ramanujan பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-8218-2076-1
• The Man Who Knew Infinity: A Life of the Genius Ramanujan by Robert Kanigel பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-671-75061-5
• Srinivasa Ramanujan: A biographical sketch and a glimpse of his work. V. Krishnamurthy. J. Indian Inst.Sc. pp11–24. Ramanujan Special Issue 1987
• The Ramanujan Journal பரணிடப்பட்டது 2008-12-25 at the வந்தவழி இயந்திரம்
• The Lost Notebook
• Musical Tribute to Ramanujan by Engelberg